La función utilidad [tex]$U$[/tex] de la empresa de producción de ropa deportiva Underarmor, después de un ciclo de ventas de mercancía, depende de la cantidad de ventas totales [tex]$x$[/tex], estando representada por el modelo [tex]$U(x)=-x^2+1600x$[/tex]. ¿Cuántas unidades de mercancía deben vender para maximizar la función utilidad [tex][tex]$U$[/tex][/tex]?



Answer :

Para encontrar la cantidad de unidades de mercancía que deben venderse para maximizar la función de utilidad [tex]\( U \)[/tex], debemos determinar el valor de [tex]\( x \)[/tex] en el cual [tex]\( U(x) \)[/tex] alcanza su máximo.

La función de utilidad está dada por el modelo [tex]\( U(x) = -x^2 + 1600x \)[/tex]. Esta es una ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex], donde [tex]\( a = -1 \)[/tex] y [tex]\( b = 1600 \)[/tex].

El máximo de una parábola que abre hacia abajo (lo cual es el caso cuando el coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex] es negativo) se encuentra en el vértice. El valor de [tex]\( x \)[/tex] en el vértice de una parábola [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] se calcula utilizando la fórmula:

[tex]\[ x = -\frac{b}{2a} \][/tex]

Sustituyendo los valores [tex]\( a = -1 \)[/tex] y [tex]\( b = 1600 \)[/tex] en la fórmula:

[tex]\[ x = -\frac{1600}{2 \cdot (-1)} \][/tex]

[tex]\[ x = -\frac{1600}{-2} \][/tex]

[tex]\[ x = \frac{1600}{2} \][/tex]

[tex]\[ x = 800 \][/tex]

Por lo tanto, la cantidad de unidades de mercancía que debe venderse para maximizar la función de utilidad es de [tex]\( 800 \)[/tex] unidades.

Con este resultado, concluimos que Underarmor debe vender [tex]\( 800 \)[/tex] unidades de mercancía para maximizar su utilidad [tex]\( U \)[/tex].