Para encontrar la cantidad de unidades de mercancía que deben venderse para maximizar la función de utilidad [tex]\( U \)[/tex], debemos determinar el valor de [tex]\( x \)[/tex] en el cual [tex]\( U(x) \)[/tex] alcanza su máximo.
La función de utilidad está dada por el modelo [tex]\( U(x) = -x^2 + 1600x \)[/tex]. Esta es una ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex], donde [tex]\( a = -1 \)[/tex] y [tex]\( b = 1600 \)[/tex].
El máximo de una parábola que abre hacia abajo (lo cual es el caso cuando el coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex] es negativo) se encuentra en el vértice. El valor de [tex]\( x \)[/tex] en el vértice de una parábola [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] se calcula utilizando la fórmula:
[tex]\[ x = -\frac{b}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores [tex]\( a = -1 \)[/tex] y [tex]\( b = 1600 \)[/tex] en la fórmula:
[tex]\[ x = -\frac{1600}{2 \cdot (-1)} \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{1600}{-2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1600}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 800 \][/tex]
Por lo tanto, la cantidad de unidades de mercancía que debe venderse para maximizar la función de utilidad es de [tex]\( 800 \)[/tex] unidades.
Con este resultado, concluimos que Underarmor debe vender [tex]\( 800 \)[/tex] unidades de mercancía para maximizar su utilidad [tex]\( U \)[/tex].
