Para maximizar la función utilidad [tex]\( U(x) = -2x^2 + 4000x \)[/tex], debemos encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex] que maximiza la parábola. Esta parábola es de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex], donde:
- [tex]\( a = -2 \)[/tex]
- [tex]\( b = 4000 \)[/tex]
- [tex]\( c = 0 \)[/tex] (aunque no necesitamos este valor para encontrar el vértice)
Sabemos que una parábola de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] alcanza su máximo (o mínimo, dependiendo del signo de [tex]\( a \)[/tex]) en su vértice. La fórmula para encontrar el vértice de una parábola es:
[tex]\[ x = -\frac{b}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] dados en la función:
[tex]\[ x = -\frac{4000}{2 \cdot (-2)} \][/tex]
[tex]\[ x = -\frac{4000}{-4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{4000}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = 1000 \][/tex]
Por lo tanto, la empresa debe vender 1000 unidades de mercancía para maximizar su función utilidad [tex]\( U \)[/tex].
