Vamos a resolver el problema paso a paso:
1. Calcular el área del cuadrado:
Un cuadrado tiene todos sus lados iguales. Si el lado del cuadrado es de 100 cm, entonces el área del cuadrado se calcula como:
[tex]\[
\text{Área del cuadrado} = \text{lado}^2 = 100^2 = 10000 \, \text{cm}^2
\][/tex]
2. Calcular el área del rectángulo:
El enunciado dice que el área del rectángulo es la mitad del área del cuadrado. Por lo tanto:
[tex]\[
\text{Área del rectángulo} = \frac{\text{Área del cuadrado}}{2} = \frac{10000}{2} = 5000 \, \text{cm}^2
\][/tex]
3. Calcular el perímetro del cuadrado:
El perímetro del cuadrado es la suma de todos sus lados. Dado que cada lado mide 100 cm, el perímetro se calcula como:
[tex]\[
\text{Perímetro del cuadrado} = 4 \times \text{lado} = 4 \times 100 = 400 \, \text{cm}
\][/tex]
4. Calcular el perímetro del rectángulo:
Según el enunciado, el perímetro del rectángulo es igual al perímetro del cuadrado menos 100 cm. Por lo tanto:
[tex]\[
\text{Perímetro del rectángulo} = \text{Perímetro del cuadrado} - 100 = 400 - 100 = 300 \, \text{cm}
\][/tex]
5. Formar el sistema de ecuaciones:
Sea [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] los lados del rectángulo. Tenemos dos ecuaciones:
1. El área del rectángulo:
[tex]\[
a \times b = 5000
\][/tex]
2. El perímetro del rectángulo:
[tex]\[
2a + 2b = 300 \implies a + b = 150
\][/tex]
6. Resolver el sistema de ecuaciones:
De la segunda ecuación, despejamos una variable en términos de la otra. Tomemos [tex]\(a + b = 150\)[/tex]. Despejamos [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[
b = 150 - a
\][/tex]
Sustituimos esta expresión en la primera ecuación:
[tex]\[
a \times (150 - a) = 5000
\][/tex]
[tex]\[
150a - a^2 = 5000
\][/tex]
[tex]\[
a^2 - 150a + 5000 = 0
\][/tex]
Resolviendo esta ecuación cuadrática, encontramos:
[tex]\[
a = 50 \, \text{cm} \quad \text{o} \quad a = 100 \, \text{cm}
\][/tex]
Sustituyendo estos valores en la ecuación [tex]\(b = 150 - a\)[/tex], obtenemos los correspondientes valores de [tex]\(b\)[/tex]:
- Si [tex]\(a = 50 \)[/tex]:
[tex]\[
b = 150 - 50 = 100 \, \text{cm}
\][/tex]
- Si [tex]\(a = 100 \)[/tex]:
[tex]\[
b = 150 - 100 = 50 \, \text{cm}
\][/tex]
Por lo tanto, las posibles dimensiones del rectángulo son:
[tex]\[
(50 \, \text{cm}, 100 \, \text{cm}) \quad \text{o} \quad (100 \, \text{cm}, 50 \, \text{cm})
\][/tex]
