Para resolver la ecuación [tex]\(\sqrt{x^2 + 3x + 7} + 4 = 3x\)[/tex], sigue estos pasos detallados:
1. Aislar la raíz cuadrada: Primero, restamos 4 de ambos lados de la ecuación para aislar la raíz cuadrada.
[tex]\[
\sqrt{x^2 + 3x + 7} = 3x - 4
\][/tex]
2. Eliminar la raíz cuadrada: Elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada.
[tex]\[
(\sqrt{x^2 + 3x + 7})^2 = (3x - 4)^2
\][/tex]
Simplificando ambos lados:
[tex]\[
x^2 + 3x + 7 = (3x - 4)^2
\][/tex]
3. Expandir el lado derecho: Expandimos [tex]\((3x - 4)^2\)[/tex].
[tex]\[
x^2 + 3x + 7 = 9x^2 - 24x + 16
\][/tex]
4. Reordenar la ecuación: Transponemos todos los términos al lado izquierdo para formar una ecuación cuadrática.
[tex]\[
x^2 + 3x + 7 - 9x^2 + 24x - 16 = 0
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
-8x^2 + 27x - 9 = 0
\][/tex]
5. Resolver la ecuación cuadrática: Una forma de resolver esta ecuación cuadrática es utilizando la fórmula cuadrática [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex], donde [tex]\(a = -8\)[/tex], [tex]\(b = 27\)[/tex] y [tex]\(c = -9\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
x = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 - 4(-8)(-9)}}{2(-8)}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{-27 \pm \sqrt{729 - 288}}{-16}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{-27 \pm \sqrt{441}}{-16}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{-27 \pm 21}{-16}
\][/tex]
Esto nos da dos soluciones potenciales:
[tex]\[
x_1 = \frac{-27 + 21}{-16} = \frac{-6}{-16} = \frac{3}{8}
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{-27 - 21}{-16} = \frac{-48}{-16} = 3
\][/tex]
6. Verificación de las soluciones: Debemos verificar ambas soluciones para ver cuál satisface la ecuación original:
Para [tex]\(x = 3\)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt{3^2 + 3(3) + 7} + 4 = 3(3)
\][/tex]
[tex]\[
\sqrt{9 + 9 + 7} + 4 = 9
\][/tex]
[tex]\[
\sqrt{25} + 4 = 9
\][/tex]
[tex]\[
5 + 4 = 9
\][/tex]
La igualdad se verifica, por lo tanto, [tex]\(x = 3\)[/tex] es una solución válida.
Para [tex]\(x = \frac{3}{8}\)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{8}\right) + 7} + 4 = 3\left(\frac{3}{8}\right)
\][/tex]
Si resolvemos paso a paso, notarás que esto no satisface la ecuación original debido a que el lado izquierdo no será igual al derecho, por lo que esta solución se descarta.
La única solución válida es [tex]\(x = 3\)[/tex].
Respuesta correcta:
b) 3
