Para resolver el problema, primero debemos encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex] que satisface la ecuación [tex]\( 3^x = 2 \)[/tex].
1. Teniendo la ecuación [tex]\( 3^x = 2 \)[/tex], la reescribimos utilizando logaritmos para despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \log_3(2)
\][/tex]
El valor numérico de [tex]\( x \)[/tex] es aproximadamente:
[tex]\[
x \approx 0.630929753571457
\][/tex]
2. Con el valor de [tex]\( x \)[/tex] encontrado, sustituimos [tex]\( x \)[/tex] en la expresión del problema para encontrar el valor de [tex]\( s \)[/tex]:
[tex]\[
s = \frac{3^x \cdot 3^2 + (3 \cdot 2) 3^{-x}}{(3^x)^2 + (3^3)^x}
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( x \approx 0.630929753571457 \)[/tex], calculamos cada término de la expresión:
- Primero, calculamos [tex]\( 3^x \)[/tex]:
[tex]\[
3^x \approx 3^{0.630929753571457} \approx 2
\][/tex]
- Luego, calculamos [tex]\( 3^{-x} \)[/tex]:
[tex]\[
3^{-x} = \frac{1}{3^x} \approx \frac{1}{2}
\][/tex]
Sustituyendo estos valores en la expresión de [tex]\( s \)[/tex]:
[tex]\[
s = \frac{2 \cdot 9 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{4 + 8}
\][/tex]
Simplificamos en el numerador:
[tex]\[
2 \cdot 9 + 3 = 18 + 3 = 21
\][/tex]
Simplificamos en el denominador:
[tex]\[
4 + 8 = 12
\][/tex]
Finalmente, calculamos el valor de [tex]\( s \)[/tex]:
[tex]\[
s = \frac{21}{12} = 1.75
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( s \)[/tex] es:
[tex]\[
s = 1.75
\][/tex]
