Para resolver este problema, seguiré los siguientes pasos:
1. Encontrar el punto medio [tex]\(A\)[/tex] del segmento limitado por los puntos [tex]\((-2, 3)\)[/tex] y [tex]\((6, -1)\)[/tex]:
[tex]\[
x_A = \frac{x1 + x2}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2.0
\][/tex]
[tex]\[
y_A = \frac{y1 + y2}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.0
\][/tex]
Entonces el punto [tex]\(A\)[/tex] es [tex]\((2.0, 1.0)\)[/tex].
2. Calcular la distancia [tex]\(MN\)[/tex]:
Los puntos [tex]\(M(4, 3)\)[/tex] y [tex]\(N(0, -3)\)[/tex] están dados. La distancia [tex]\(MN\)[/tex] se calcula usando la fórmula de la distancia entre dos puntos en un plano:
[tex]\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}
\][/tex]
[tex]\[
d = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
\][/tex]
3. Encontrar el punto [tex]\(B\)[/tex] en el segmento [tex]\(MN\)[/tex], a una distancia de [tex]\(3/4\)[/tex] de [tex]\(M\)[/tex]:
La distancia entre [tex]\(M\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex] es:
[tex]\[
d_{MB} = \frac{3}{4} \times 2\sqrt{13} = \frac{3\sqrt{13}}{2}
\][/tex]
La razón [tex]\(t\)[/tex] que determina la posición de [tex]\(B\)[/tex] en [tex]\(MN\)[/tex] es:
[tex]\[
t = \frac{d_{MB}}{d_{MN}} = \frac{\frac{3\sqrt{13}}{2}}{2\sqrt{13}} = \frac{3}{4}
\][/tex]
Las coordenadas del punto [tex]\(B\)[/tex] son:
[tex]\[
B_x = M_x + t \times (N_x - M_x) = 4 + \frac{3}{4} \times (0 - 4) = 4 - 3 = 1.0
\][/tex]
[tex]\[
B_y = M_y + t \times (N_y - M_y) = 3 + \frac{3}{4} \times (-3 - 3) = 3 - 4.5 = -1.5
\][/tex]
Entonces, el punto [tex]\(B\)[/tex] es [tex]\((1.0, -1.5)\)[/tex].
4. Calcular la pendiente de la recta [tex]\(AB\)[/tex]:
La pendiente [tex]\(m\)[/tex] de la recta que pasa por los puntos [tex]\(A(2.0, 1.0)\)[/tex] y [tex]\(B(1.0, -1.5)\)[/tex] se calcula como:
[tex]\[
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1.5 - 1.0}{1.0 - 2.0} = \frac{-2.5}{-1.0} = 2.5
\][/tex]
5. Encontrar la intersección con el eje [tex]\(y\)[/tex] (ordenada al origen) de la recta [tex]\(AB\)[/tex]:
La ecuación de la recta en forma pendiente-intersección es [tex]\(y = mx + c\)[/tex]. Para encontrar [tex]\(c\)[/tex]:
[tex]\[
1.0 = 2.5 \times 2.0 + c
\][/tex]
[tex]\[
1.0 = 5.0 + c
\][/tex]
[tex]\[
c = 1.0 - 5.0 = -4.0
\][/tex]
Por lo tanto, la intersección [tex]\(y\)[/tex] (ordenada al origen) es [tex]\(-4.0\)[/tex].
6. Ecuación de la recta [tex]\(AB\)[/tex]:
La ecuación en forma pendiente-intersección para la recta [tex]\(AB\)[/tex] es:
[tex]\[
y = 2.5x - 4.0
\][/tex]
Así, la ecuación de la recta [tex]\(AB\)[/tex] es [tex]\(y = 2.5x - 4.0\)[/tex].
