¡Claro! Vamos a resolver el problema paso a paso.
### Paso 1: Encontrar el punto medio A
Dados los puntos [tex]\( A1 = (-2, 3) \)[/tex] y [tex]\( A2 = (6, -1) \)[/tex], el punto medio [tex]\( A \)[/tex] se calcula con la fórmula:
[tex]\[
A = \left( \frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2} \right)
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
A = \left( \frac{-2 + 6}{2}, \frac{3 - 1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (2, 1)
\][/tex]
### Paso 2: Calcular [tex]\( B \)[/tex] en el segmento [tex]\( M N \)[/tex]
Dados los puntos [tex]\( M = (4, 3) \)[/tex] y [tex]\( N = (0, -3) \)[/tex], queremos encontrar el punto [tex]\( B \)[/tex] que está a [tex]\( \frac{3}{4} \)[/tex] de la distancia total de [tex]\( M \)[/tex] a [tex]\( N \)[/tex]. La proporción de la distancia para [tex]\( B \)[/tex] desde [tex]\( M \)[/tex] a [tex]\( N \)[/tex] es:
[tex]\[
Bx = Mx + \frac{3}{4} \left(Nx - Mx\right)
\][/tex]
[tex]\[
By = My + \frac{3}{4} \left(Ny - My\right)
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
Bx = 4 + \frac{3}{4} (0 - 4) = 4 + \frac{3}{4} (-4) = 4 - 3 = 1
\][/tex]
[tex]\[
By = 3 + \frac{3}{4} (-3 - 3) = 3 + \frac{3}{4} (-6) = 3 - 4.5 = -1.5
\][/tex]
Entonces, [tex]\( B = (1, -1.5) \)[/tex].
### Paso 3: Hallar la ecuación de la recta [tex]\( AB \)[/tex]
Dados los puntos [tex]\( A = (2, 1) \)[/tex] y [tex]\( B = (1, -1.5) \)[/tex], hallamos la pendiente [tex]\( m \)[/tex] con la fórmula:
[tex]\[
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
m = \frac{-1.5 - 1}{1 - 2} = \frac{-2.5}{-1} = 2.5
\][/tex]
Ahora, usamos la pendiente-intersección de la ecuación de la recta [tex]\( y = mx + c \)[/tex]. Sabemos que cuando [tex]\( x = x_A \)[/tex], [tex]\( y = y_A \)[/tex]:
[tex]\[
1 = 2.5(2) + c
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( c \)[/tex]:
[tex]\[
1 = 5 + c
\][/tex]
[tex]\[
c = 1 - 5 = -4
\][/tex]
Entonces, la ecuación de la recta [tex]\( AB \)[/tex] es:
[tex]\[
y = 2.5x - 4
\][/tex]
### Resumen
1. El punto medio [tex]\( A \)[/tex] es [tex]\( (2, 1) \)[/tex].
2. El punto [tex]\( B \)[/tex] en el segmento [tex]\( MN \)[/tex] es [tex]\( (1, -1.5) \)[/tex].
3. La ecuación de la recta [tex]\( AB \)[/tex] es [tex]\( y = 2.5x - 4 \)[/tex].
