Для решения уравнения:
[tex]\[ 4 \cdot 2^{2x} + 3 \cdot 2^x - 1 = 0 \][/tex]
мы начнем с введения новой переменной. Обозначим [tex]\( y = 2^x \)[/tex]. Тогда наше уравнение преобразуется в квадратное относительно [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 4y^2 + 3y - 1 = 0 \][/tex]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу квадратного уравнения:
[tex]\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
где [tex]\( a = 4 \)[/tex], [tex]\( b = 3 \)[/tex], и [tex]\( c = -1 \)[/tex]. Подставим эти значения в формулу:
[tex]\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{8} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{-3 \pm 5}{8} \][/tex]
Теперь найдем возможные значения [tex]\( y \)[/tex]:
1. [tex]\( y_1 = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)[/tex]
2. [tex]\( y_2 = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \)[/tex]
Поскольку [tex]\( y = 2^x \)[/tex], а [tex]\( 2^x \)[/tex] всегда положительно, значение [tex]\( y = -1 \)[/tex] не удовлетворяет условию, так как экспоненциальная функция [tex]\( 2^x \)[/tex] не может быть отрицательной. Поэтому единственное допустимое значение [tex]\( y = \frac{1}{4} \)[/tex].
Теперь вернемся к исходной переменной [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 2^x = \frac{1}{4} \][/tex]
Вспомним, что [tex]\(\frac{1}{4} = 2^{-2}\)[/tex], тогда:
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
Таким образом, у нашего уравнения существует только одно действительное решение.
Ответ:
- 1
