Claro, puedo ayudarte a resolver este problema de física paso a paso.
### Parte (a): ¿Con qué rapidez sale la esfera cuando se libera el resorte?
Primero, debemos considerar que la energía potencial almacenada en el resorte comprimido se convierte en energía cinética cuando se libera.
Datos proporcionados:
- Constante del resorte, [tex]\( k = 360 \, \text{N/m} \)[/tex]
- Compresión del resorte, [tex]\( x = 0.10 \, \text{m} \)[/tex] (asegurándonos de convertir centímetros a metros)
- Masa de la esfera, [tex]\( m = 0.100 \, \text{kg} \)[/tex]
Energía potencial del resorte:
La fórmula para la energía potencial en un resorte comprimido es:
[tex]\[
PE_{resorte} = \frac{1}{2} k x^2
\][/tex]
Sustituyendo los valores, obtenemos:
[tex]\[
PE_{resorte} = \frac{1}{2} \cdot 360 \, \text{N/m} \cdot (0.10 \, \text{m})^2 = 1.800 \, \text{J}
\][/tex]
Cuando el resorte se libera, esta energía potencial es convertida en energía cinética de la esfera:
[tex]\[
KE = PE_{resorte}
\][/tex]
La fórmula para la energía cinética es:
[tex]\[
KE = \frac{1}{2} m v^2
\][/tex]
Igualando ambas energías y despejando [tex]\( v \)[/tex]:
[tex]\[
1.800 \, \text{J} = \frac{1}{2} \cdot 0.100 \, \text{kg} \cdot v^2
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 2 para simplificar:
[tex]\[
3.600 \, \text{J} = 0.100 \, \text{kg} \cdot v^2
\][/tex]
Dividimos ambos lados por la masa:
[tex]\[
v^2 = \frac{3.600 \, \text{J}}{0.100 \, \text{kg}} = 36.0 \, \text{m}^2/\text{s}^2
\][/tex]
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar la velocidad:
[tex]\[
v = \sqrt{36.0 \, \text{m}^2/\text{s}^2} = 6.0 \, \text{m/s}
\][/tex]
Así que, la rapidez con la que sale la esfera cuando se libera el resorte es [tex]\(6.0 \, \text{m/s}\)[/tex].
### Parte (b): ¿Hasta qué altura sube la esfera?
Ahora, queremos determinar la altura máxima a la que sube la esfera. Asumimos que toda la energía cinética se convierte en energía potencial gravitatoria en el punto más alto de su trayectoria.
Datos proporcionados:
- Velocidad inicial de la esfera, [tex]\( v = 6.0 \, \text{m/s} \)[/tex]
- Aceleración debida a la gravedad, [tex]\( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)[/tex]
En el punto más alto, la energía cinética se convierte en energía potencial gravitatoria:
[tex]\[
KE = PE_{gravitacional}
\][/tex]
La fórmula para la energía potencial gravitatoria es:
[tex]\[
PE_{gravitacional} = mgh
\][/tex]
Igualamos las energías y despejamos [tex]\( h \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{1}{2} m v^2 = mgh
\][/tex]
Podemos simplificar quitando [tex]\( m \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
\frac{1}{2} v^2 = gh
\][/tex]
Despejamos [tex]\( h \)[/tex]:
[tex]\[
h = \frac{\frac{1}{2} v^2}{g}
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
h = \frac{\frac{1}{2} (6.0 \, \text{m/s})^2}{9.8 \, \text{m/s}^2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 36.0 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{9.8 \, \text{m/s}^2} = \frac{18.0 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{9.8 \, \text{m/s}^2} = 1.836734693877551 \, \text{m}
\][/tex]
Así que, la altura máxima a la que sube la esfera es aproximadamente [tex]\(1.84 \, \text{m}\)[/tex].
