Para modelar la masa restante de una muestra de carbono-14 después de [tex]\( t \)[/tex] años, necesitamos entender que la desintegración del carbono-14 sigue una ley de desintegración exponencial.
La información que tenemos es:
- La masa inicial [tex]\( M_0 \)[/tex] de carbono-14 es 960 gramos.
- El carbono-14 pierde un [tex]\( 10\% \)[/tex] de su masa cada 871 años. Esto significa que después de 871 años, la masa restante será el [tex]\( 90\% \)[/tex] de la masa inicial.
El modelo general para la desintegración exponencial es:
[tex]\[ M(t) = M_0 \cdot e^{kt} \][/tex]
donde:
- [tex]\( M(t) \)[/tex] es la masa restante en el tiempo [tex]\( t \)[/tex].
- [tex]\( M_0 \)[/tex] es la masa inicial.
- [tex]\( k \)[/tex] es la constante de desintegración.
- [tex]\( t \)[/tex] es el tiempo transcurrido.
Primero, necesitamos encontrar la constante de desintegración [tex]\( k \)[/tex]. Sabemos que después de 871 años, la masa restante es el [tex]\( 90\% \)[/tex] de [tex]\( M_0 \)[/tex]:
[tex]\[ M(871) = M_0 \cdot e^{k \cdot 871} = 0.90 \cdot M_0 \][/tex]
Dividimos ambos lados de la ecuación por [tex]\( M_0 \)[/tex]:
[tex]\[ e^{k \cdot 871} = 0.90 \][/tex]
Ahora tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para resolver [tex]\( k \)[/tex]:
[tex]\[ k \cdot 871 = \ln(0.90) \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{\ln(0.90)}{871} \][/tex]
Con [tex]\( k \)[/tex] conocido, podemos escribir la función que modela la masa restante en la muestra de carbono-14 [tex]\( t \)[/tex] años después de la medición inicial:
[tex]\[ M(t) = 960 \cdot e^{ \left( \frac{\ln(0.90)}{871} \right) t } \][/tex]
Esta es la función solicitada que modela la masa restante en la muestra de carbono-14:
[tex]\[ M(t) = 960 \cdot e^{ \left( \frac{\ln(0.90)}{871} \right) t } \][/tex]
