Para encontrar la ecuación de una circunferencia, necesitamos conocer su centro y su radio. La fórmula general de una circunferencia con centro [tex]\((h, k)\)[/tex] y radio [tex]\(r\)[/tex] es:
[tex]\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\][/tex]
En este caso, se nos da el centro de la circunferencia, que es [tex]\(C(2, -3)\)[/tex].
Además, se nos dice que la circunferencia es tangente al eje [tex]\(X\)[/tex]. Ser tangente al eje [tex]\(X\)[/tex] implica que la distancia desde el centro de la circunferencia hasta el eje [tex]\(X\)[/tex] es igual al radio de la circunferencia.
En este caso, la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del centro es [tex]\(-3\)[/tex], lo que significa que la distancia del centro al eje [tex]\(X\)[/tex] es 3. Por lo tanto, el radio de la circunferencia es 3.
Entonces, usando la fórmula de la circunferencia con centro [tex]\(C(2, -3)\)[/tex] y radio [tex]\(r = 3\)[/tex], sustituimos [tex]\(h = 2\)[/tex], [tex]\(k = -3\)[/tex], y [tex]\(r = 3\)[/tex]:
[tex]\[
(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 3^2
\][/tex]
Simplificando esto:
[tex]\[
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9
\][/tex]
Ahora, vamos a comparar esta ecuación con las opciones dadas:
I. [tex]\((x-2)^2 + (y-3)^2 = 9\)[/tex]
II. [tex]\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 9\)[/tex]
III. [tex]\((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\)[/tex]
Podemos ver que la opción que coincide con nuestra ecuación es la opción:
II. [tex]\((x-2)^2 + (y+3)^2 = 9\)[/tex]
Por lo tanto, la ecuación correcta de la circunferencia es la opción II.
