Para resolver la ecuación dada y encontrar el valor de [tex]\(a^a\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Planteamiento de la ecuación: Tenemos la ecuación
[tex]\[
\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2}} a^2 = 2
\][/tex]
2. Simplificación de términos: Simplificamos la expresión algebraica del lado izquierdo de la ecuación. Notamos que:
[tex]\[
a^{\frac{1}{2}} a^2 = a^{\left(\frac{1}{2} + 2\right)} = a^{\frac{5}{2}}
\][/tex]
Entonces, la ecuación se convierte en:
[tex]\[
\frac{1}{2} a^{\frac{5}{2}} = 2
\][/tex]
3. Eliminación de fracciones: Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para deshacernos del [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex]:
[tex]\[
a^{\frac{5}{2}} = 4
\][/tex]
4. Resolución para [tex]\(a\)[/tex]: Para despejar [tex]\(a\)[/tex], elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia inversa, que en este caso es [tex]\(\frac{2}{5}\)[/tex]:
[tex]\[
a = 4^{\frac{2}{5}}
\][/tex]
Calculando esto obtenemos tres posibles valores de [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
a \approx 1.7411, \quad a \approx -1.4086 - 1.0234i, \quad y \quad a \approx -1.4086 + 1.0234i
\][/tex]
5. Cálculo de [tex]\(a^a\)[/tex]: Usamos estos valores para calcular [tex]\(a^a\)[/tex]:
- Para [tex]\(a \approx 1.7411\)[/tex]:
[tex]\[
a^a \approx 1.7411^{1.7411} \approx 2.6260
\][/tex]
- Para los valores complejos [tex]\(a \approx -1.4086 - 1.0234i\)[/tex] y [tex]\(a \approx -1.4086 + 1.0234i\)[/tex]:
[tex]\[
a^a = \left(-1.4086 - 1.0234i \right)^{\left(-1.4086 - 1.0234i\right)}
\][/tex]
y
[tex]\[
a^a = \left(-1.4086 + 1.0234i \right)^{\left(-1.4086 + 1.0234i\right)}
\][/tex]
Sin embargo, estos valores son complejos y no tienen un significado directo en este contexto.
Así, el valor real que obtenemos para [tex]\(a^a\)[/tex] es:
[tex]\[
a^a \approx 2.6260
\][/tex]
Por lo tanto, respondiendo a las opciones brindadas:
A. 1
B. 2
C. 16
Ninguno de los valores dados coincide exactamente con [tex]\(2.6260\)[/tex]. La respuesta más cercana basada en las opciones proporcionadas sería, de hecho, más compleja de justificar en términos de aproximación (ya que no hay respuesta exacta).
En resumen, dado que [tex]\(a^a \approx 2.6260\)[/tex], ninguna de las respuestas propuestas es la correcta.
