Answer :
Para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo formado por los puntos A(3, -2), B(1, 4), y D(-5, 4), seguiremos estos pasos:
### Paso 1: Calcular los puntos medios de los lados del triángulo.
Los puntos medios de los lados de un triángulo son:
- Punto medio de AB (M[tex]\(_{AB}\)[/tex]):
[tex]\[ M\(_{AB}\) = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = (2, 1) \][/tex]
- Punto medio de BD (M[tex]\(_{BD}\)[/tex]):
[tex]\[ M\(_{BD}\) = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) = \left( \frac{1 - 5}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = (-2, 4) \][/tex]
- Punto medio de DA (M[tex]\(_{DA}\)[/tex]):
[tex]\[ M\(_{DA}\) = \left( \frac{x_D + x_A}{2}, \frac{y_D + y_A}{2} \right) = \left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{4 - 2}{2} \right) = (-1, 1) \][/tex]
### Paso 2: Encontrar el circuncentro (centro de la circunferencia)
El circuncentro es el punto donde se intersectan las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo o en nuestro caso de los segmentos AB, BD y DA.
Vamos a calcular las ecuaciones de las bisectrices perpendiculares de los lados AB y BD.
#### Bisectriz perpendicular de AB:
La pendiente de AB es:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - (-2)}{1 - 3} = \frac{6}{-2} = -3 \][/tex]
La pendiente de la bisectriz perpendicular es:
[tex]\[ m_{\perp AB} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{1}{3} \][/tex]
La ecuación de la bisectriz perpendicular que pasa por [tex]\(M_{AB}\)[/tex] (2, 1) es:
[tex]\[ y - 1 = \frac{1}{3}(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ 3y - 3 = x - 2 \][/tex]
[tex]\[ 3y = x + 1 \][/tex]
[tex]\[ x - 3y + 1 = 0 \][/tex]
#### Bisectriz perpendicular de BD:
La pendiente de BD es:
[tex]\[ m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{4 - 4}{-5 - 1} = \frac{0}{-6} = 0 \][/tex]
La pendiente de la bisectriz perpendicular a una línea horizontal (pendiente = 0) es infinita, lo que significa que es una línea vertical. La bisectriz perpendicualr pasa por el punto medio [tex]\(M_{BD}\)[/tex] (-2, 4):
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
### Paso 3: Encontrar el punto de intersección de las bisectrices
Intersección de las ecuaciones:
[tex]\[ x - 3y + 1 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(x = -2\)[/tex] en [tex]\(x - 3y + 1 = 0\)[/tex]:
[tex]\[ -2 - 3y + 1 = 0 \][/tex]
[tex]\[ -1 - 3y = 0 \][/tex]
[tex]\[ -3y = 1 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{3} \][/tex]
Por lo tanto, el circuncentro es:
[tex]\[ \left( -2, -\frac{1}{3} \right) \][/tex]
### Paso 4: Calcular el radio de la circunferencia
El radio es la distancia desde el circuncentro a cualquiera de los puntos medios. Usaremos el punto [tex]\(M_{AB}\)[/tex] (2, 1):
[tex]\[ r = \sqrt{(x_h - x_k)^2 + (y_h - y_k)^2} \][/tex]
donde [tex]\( (x_h, y_k) = (-2, -\frac{1}{3}) \)[/tex] y [tex]\( (x_1, y_1) = (2, 1) \)[/tex]:
[tex]\[ r = \sqrt{(2 - (-2))^2 + \left( 1 - \left( -\frac{1}{3} \right) \right)^2 } = \sqrt{(4)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 } = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{\sqrt{160}}{3} = \frac{\sqrt{16 \cdot 10}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3} \][/tex]
### Paso 5: Ecuación de la circunferencia
La forma canónica de la ecuación de una circunferencia es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(h = -2\)[/tex], [tex]\(k = -\frac{1}{3}\)[/tex], y [tex]\(r = \frac{4\sqrt{10}}{3}\)[/tex]:
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \left( \frac{4\sqrt{10}}{3} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{160}{9} \][/tex]
Esta es la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo formado por los puntos A(3, -2), B(1, 4) y D(-5, 4).
### Paso 1: Calcular los puntos medios de los lados del triángulo.
Los puntos medios de los lados de un triángulo son:
- Punto medio de AB (M[tex]\(_{AB}\)[/tex]):
[tex]\[ M\(_{AB}\) = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = (2, 1) \][/tex]
- Punto medio de BD (M[tex]\(_{BD}\)[/tex]):
[tex]\[ M\(_{BD}\) = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) = \left( \frac{1 - 5}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = (-2, 4) \][/tex]
- Punto medio de DA (M[tex]\(_{DA}\)[/tex]):
[tex]\[ M\(_{DA}\) = \left( \frac{x_D + x_A}{2}, \frac{y_D + y_A}{2} \right) = \left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{4 - 2}{2} \right) = (-1, 1) \][/tex]
### Paso 2: Encontrar el circuncentro (centro de la circunferencia)
El circuncentro es el punto donde se intersectan las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo o en nuestro caso de los segmentos AB, BD y DA.
Vamos a calcular las ecuaciones de las bisectrices perpendiculares de los lados AB y BD.
#### Bisectriz perpendicular de AB:
La pendiente de AB es:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - (-2)}{1 - 3} = \frac{6}{-2} = -3 \][/tex]
La pendiente de la bisectriz perpendicular es:
[tex]\[ m_{\perp AB} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{1}{3} \][/tex]
La ecuación de la bisectriz perpendicular que pasa por [tex]\(M_{AB}\)[/tex] (2, 1) es:
[tex]\[ y - 1 = \frac{1}{3}(x - 2) \][/tex]
[tex]\[ y - 1 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ 3y - 3 = x - 2 \][/tex]
[tex]\[ 3y = x + 1 \][/tex]
[tex]\[ x - 3y + 1 = 0 \][/tex]
#### Bisectriz perpendicular de BD:
La pendiente de BD es:
[tex]\[ m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{4 - 4}{-5 - 1} = \frac{0}{-6} = 0 \][/tex]
La pendiente de la bisectriz perpendicular a una línea horizontal (pendiente = 0) es infinita, lo que significa que es una línea vertical. La bisectriz perpendicualr pasa por el punto medio [tex]\(M_{BD}\)[/tex] (-2, 4):
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
### Paso 3: Encontrar el punto de intersección de las bisectrices
Intersección de las ecuaciones:
[tex]\[ x - 3y + 1 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(x = -2\)[/tex] en [tex]\(x - 3y + 1 = 0\)[/tex]:
[tex]\[ -2 - 3y + 1 = 0 \][/tex]
[tex]\[ -1 - 3y = 0 \][/tex]
[tex]\[ -3y = 1 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{1}{3} \][/tex]
Por lo tanto, el circuncentro es:
[tex]\[ \left( -2, -\frac{1}{3} \right) \][/tex]
### Paso 4: Calcular el radio de la circunferencia
El radio es la distancia desde el circuncentro a cualquiera de los puntos medios. Usaremos el punto [tex]\(M_{AB}\)[/tex] (2, 1):
[tex]\[ r = \sqrt{(x_h - x_k)^2 + (y_h - y_k)^2} \][/tex]
donde [tex]\( (x_h, y_k) = (-2, -\frac{1}{3}) \)[/tex] y [tex]\( (x_1, y_1) = (2, 1) \)[/tex]:
[tex]\[ r = \sqrt{(2 - (-2))^2 + \left( 1 - \left( -\frac{1}{3} \right) \right)^2 } = \sqrt{(4)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 } = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{\sqrt{160}}{3} = \frac{\sqrt{16 \cdot 10}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3} \][/tex]
### Paso 5: Ecuación de la circunferencia
La forma canónica de la ecuación de una circunferencia es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(h = -2\)[/tex], [tex]\(k = -\frac{1}{3}\)[/tex], y [tex]\(r = \frac{4\sqrt{10}}{3}\)[/tex]:
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \left( \frac{4\sqrt{10}}{3} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ (x + 2)^2 + \left( y + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{160}{9} \][/tex]
Esta es la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo formado por los puntos A(3, -2), B(1, 4) y D(-5, 4).
