Para encontrar la probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada, procederemos de la siguiente manera:
### Paso 1: Definir la cantidad de ensayos [tex]\(n\)[/tex] y el número de éxitos [tex]\(k\)[/tex]
- [tex]\(n = 8\)[/tex]: Este es el número total de lanzamientos de la moneda.
- [tex]\(k = 5\)[/tex]: Este es el número de veces que queremos obtener caras.
### Paso 2: Definir la probabilidad de éxito [tex]\(p\)[/tex]
- [tex]\(p = 0.5\)[/tex] (50%): Esto se debe a que la moneda es honrada, y la probabilidad de obtener cara en un solo lanzamiento es de 0.5.
### Paso 3: Hallar el coeficiente binomial
El coeficiente binomial se calcula con la fórmula:
[tex]\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \][/tex]
En nuestro caso:
[tex]\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \][/tex]
### Paso 4: Calcular la probabilidad
La probabilidad de obtener exactamente [tex]\(k\)[/tex] éxitos en [tex]\(n\)[/tex] ensayos se obtiene usando la fórmula de la distribución binomial:
[tex]\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \][/tex]
Sustituyendo los valores obtenemos:
[tex]\[ P(X = 5) = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{3} \][/tex]
### Resultado
- El coeficiente binomial [tex]\( C(8, 5) \)[/tex] es 56.
- La probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 8 lanzamientos es [tex]\(0.21875\)[/tex] o 21.875%.
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 8 lanzamientos de una moneda honrada es 0.21875 (21.875%).
