Vamos a resolver el problema paso a paso.
1. Identificación del grado absoluto:
- El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de todas las variables.
- La expresión dada es [tex]\(M(x, y) = (a + b) x^{2(a-1)} y^{3b}\)[/tex].
- Por lo tanto, el grado absoluto viene dado por:
[tex]\[
\text{Grado absoluto} = 2(a - 1) + 3b
\][/tex]
- Se nos dice que el grado absoluto es 17, entonces:
[tex]\[
2(a - 1) + 3b = 17 \quad \text{(1)}
\][/tex]
2. Grado relativo respecto a [tex]\(x\)[/tex]:
- El grado relativo respecto a [tex]\(x\)[/tex] es el exponente de [tex]\(x\)[/tex] en el monomio.
- En nuestro caso, el exponente de [tex]\(x\)[/tex] es [tex]\(2(a - 1)\)[/tex].
- Se nos dice que el grado relativo respecto a [tex]\(x\)[/tex] es igual a su coeficiente [tex]\((a + b)\)[/tex]:
[tex]\[
2(a - 1) = a + b \quad \text{(2)}
\][/tex]
3. Resolver el sistema de ecuaciones:
- Ahora tenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
[tex]\[
\begin{cases}
2(a - 1) + 3b = 17 \\
2(a - 1) = a + b
\end{cases}
\][/tex]
1. Resolver la segunda ecuación para [tex]\(a\)[/tex] en términos de [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[
2a - 2 = a + b
\][/tex]
[tex]\[
2a - a = b + 2
\][/tex]
[tex]\[
a = b + 2 \quad \text{(3)}
\][/tex]
2. Sustituir (3) en la primera ecuación:
[tex]\[
2((b + 2) - 1) + 3b = 17
\][/tex]
[tex]\[
2(b + 1) + 3b = 17
\][/tex]
[tex]\[
2b + 2 + 3b = 17
\][/tex]
[tex]\[
5b + 2 = 17
\][/tex]
[tex]\[
5b = 15
\][/tex]
[tex]\[
b = 3
\][/tex]
3. Sustituir [tex]\(b = 3\)[/tex] en (3) para encontrar [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
a = 3 + 2
\][/tex]
[tex]\[
a = 5
\][/tex]
4. Calcular [tex]\(a - b\)[/tex]:
[tex]\[
a - b = 5 - 3 = 2
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(a - b\)[/tex] es [tex]\(2\)[/tex].
Respuesta: A) 2
