Para determinar la suma [tex]\( S = \sum_{i=1}^6 (\sqrt{i+1} - \sqrt{i}) \)[/tex], procederemos paso a paso.
Primero, descomponemos la suma para visualizar mejor todos los términos involucrados:
[tex]\[ S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{6}) \][/tex]
Observamos que se trata de una suma telescópica, donde muchos términos intermedios se cancelarán mutuamente:
[tex]\[ S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{6}) \][/tex]
Ahora, reescribimos colocando los términos que se cancelan juntos:
[tex]\[ S = -\sqrt{1} + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{4} - \sqrt{4} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{7} \][/tex]
Podemos ver claramente que todos los términos intermedios se cancelan:
[tex]\[ S = -\sqrt{1} + \underbrace{\sqrt{2} - \sqrt{2}}_0 + \underbrace{\sqrt{3} - \sqrt{3}}_0 + \underbrace{\sqrt{4} - \sqrt{4}}_0 + \underbrace{\sqrt{5} - \sqrt{5}}_0 + \underbrace{\sqrt{6} - \sqrt{6}}_0 + \sqrt{7} \][/tex]
Por lo tanto, nos quedan:
[tex]\[ S = -\sqrt{1} + \sqrt{7} \][/tex]
Recordando que [tex]\(\sqrt{1} = 1\)[/tex]:
[tex]\[ S = -1 + \sqrt{7} \][/tex]
Finalmente, simplificando, obtenemos:
[tex]\[ S = \sqrt{7} - 1 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{\sqrt{7} - 1} \][/tex]
