Para resolver este problema, seguimos estos pasos:
1. Identificar el centro de la circunferencia:
El centro de la circunferencia está dado como [tex]\( C(2, -3) \)[/tex], donde las coordenadas son [tex]\( h = 2 \)[/tex] y [tex]\( k = -3 \)[/tex].
2. Entender la relación entre la tangencia y el radio:
Dado que la circunferencia es tangente al eje [tex]\( X \)[/tex], la distancia desde el centro a este eje es igual al radio de la circunferencia.
3. Calcular el radio:
La distancia desde el centro [tex]\( (2, -3) \)[/tex] hasta el eje [tex]\( X \)[/tex] es simplemente el valor absoluto de la coordenada [tex]\( y \)[/tex] del centro, que en este caso es [tex]\( |k| = |-3| = 3 \)[/tex].
4. Formar la ecuación de la circunferencia:
La ecuación general de una circunferencia con centro en [tex]\( (h, k) \)[/tex] y radio [tex]\( r \)[/tex] es:
[tex]\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( h = 2 \)[/tex], [tex]\( k = -3 \)[/tex] y [tex]\( r = 3 \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[
(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 3^2
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9
\][/tex]
5. Comparar con las opciones dadas:
La ecuación obtenida es:
[tex]\[
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9
\][/tex]
Esto corresponde a la opción II.
Por lo tanto, la ecuación correcta de la circunferencia es:
II. [tex]\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9\)[/tex].
