¡Claro que sí! Vamos a resolver cada pregunta paso a paso detalladamente:
### Pregunta 1:
¿Cuántos alumbrados distintos de 4 bombillas se pueden hacer con 9 bombillas de diferente diseño?
Para responder esta pregunta usamos combinaciones porque nos importa solo la elección de las bombillas y no su orden. Combinaciones se calculan con la fórmula [tex]\( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)[/tex].
Con [tex]\( n = 9 \)[/tex] y [tex]\( k = 4 \)[/tex], [tex]\( C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} \)[/tex].
La respuesta correcta es:
A. 126
### Pregunta 2:
¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se pueden repetir?
Para esta pregunta usamos permutaciones porque el orden de los dígitos importa. Permutaciones se calculan con la fórmula [tex]\( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)[/tex].
Con [tex]\( n = 6 \)[/tex] y [tex]\( k = 5 \)[/tex], [tex]\( P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} \)[/tex].
La respuesta correcta es:
A. 720
### Pregunta 3:
¿Cuántos titulares de 5 futbolistas pueden hacerse con 14 jugadores si cada jugador debe jugar en su posición respectiva?
Dado que cada posición es única y distinta, esto es un problema de permutaciones. Utilizamos la fórmula [tex]\( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)[/tex].
Con [tex]\( n = 14 \)[/tex] y [tex]\( k = 5 \)[/tex], [tex]\( P(14, 5) = \frac{14!}{(14-5)!} \)[/tex].
La respuesta correcta es:
D. 240240
### Pregunta 4:
¿Cuántas selecciones de 5 letras pueden hacerse con las letras de las palabras Matemáticas?
Primero, identificamos las letras únicas de la palabra 'Matemáticas': {M, a, t, e, m, á, t, i, c, a, s}. Muchas letras se repiten, así que eliminamos duplicados: {M, a, t, e, á, i, c, s}.
Luego, hacemos combinaciones de [tex]\( n = 9 \)[/tex] letras únicas, seleccionando [tex]\( k = 5 \)[/tex] letras: [tex]\( C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} \)[/tex].
La respuesta correcta es:
A. 56
### Pregunta 5:
¿De cuántos modos pueden ubicarse en una fila de 10 sillas 4 personas?
Usamos permutaciones porque el orden de las personas importa. La fórmula es [tex]\( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)[/tex].
Con [tex]\( n = 10 \)[/tex] y [tex]\( k = 4 \)[/tex], [tex]\( P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} \)[/tex].
La respuesta correcta es:
C. 5040
### Pregunta 6:
Entre Manizales y Armenia hay 3 carreteras. ¿De cuántos modos puede viajarse de Manizales a Armenia ida y regreso sin repetir carretera?
Debemos seleccionar dos caminos diferentes y ordenarlos, uno para ir y otro para regresar. Calculamos esto con permutaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2 (para los caminos de ida y de vuelta).
Con [tex]\( n = 3 \)[/tex] y [tex]\( k = 2 \)[/tex], [tex]\( P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} \)[/tex].
La respuesta correcta es:
C. 6
Espero que esto sea útil y claro para ti. ¡Buena suerte con tus estudios de matemáticas!
