Para resolver este problema, calculamos la distancia total recorrida por el balón hasta que toca el suelo por quinta vez.
1. Primera caída:
- La pelota cae una altura inicial de 10 metros.
- Distancia recorrida = 10 metros.
2. Primer rebote:
- La pelota rebota y alcanza [tex]$\frac{3}{4}$[/tex] de la altura anterior (10 metros).
- Altura rebotada = [tex]\( 10 \times \frac{3}{4} = 7.5 \)[/tex] metros.
- La pelota recorre 7.5 metros hacia arriba y 7.5 metros hacia abajo.
- Distancia recorrida = 15 metros.
3. Segundo rebote:
- La pelota alcanza [tex]$\frac{3}{4}$[/tex] de la altura del primer rebote (7.5 metros).
- Altura rebotada = [tex]\( 7.5 \times \frac{3}{4} = 5.625 \)[/tex] metros.
- La pelota recorre 5.625 metros hacia arriba y 5.625 metros hacia abajo.
- Distancia recorrida = 11.25 metros.
4. Tercer rebote:
- La pelota alcanza [tex]$\frac{3}{4}$[/tex] de la altura del segundo rebote (5.625 metros).
- Altura rebotada = [tex]\( 5.625 \times \frac{3}{4} = 4.21875 \)[/tex] metros.
- La pelota recorre 4.21875 metros hacia arriba y 4.21875 metros hacia abajo.
- Distancia recorrida = 8.4375 metros.
5. Cuarto rebote:
- La pelota alcanza [tex]$\frac{3}{4}$[/tex] de la altura del tercer rebote (4.21875 metros).
- Altura rebotada = [tex]\( 4.21875 \times \frac{3}{4} = 3.1640625 \)[/tex] metros.
- La pelota recorre 3.1640625 metros hacia arriba y 3.1640625 metros hacia abajo.
- Distancia recorrida = 6.328125 metros.
Para encontrar la distancia total recorrida, sumamos todas las distancias mencionadas:
[tex]\[
\begin{align*}
\text{Distancia total} & = 10 + 15 + 11.25 + 8.4375 + 6.328125 \\
& = 51.015625 \text{ metros}.
\end{align*}
\][/tex]
Por lo tanto, la distancia total recorrida por el balón cuando toca el suelo por quinta vez es [tex]\(\boxed{51.015625}\)[/tex] metros.
