Para determinar la relación entre la recta y la circunferencia dadas en las ecuaciones [tex]$25 x^2 + 25 y^2 - 150 y - 64 = 0$[/tex] y [tex]$y = x - 3y - 8$[/tex], seguimos los siguientes pasos:
### 1. Reescribir la ecuación de la circunferencia
Primero, simplificamos la ecuación de la circunferencia:
[tex]\[ 25(x^2 + y^2) - 150y - 64 = 0 \][/tex]
### 2. Ecuación de la recta en forma estándar
Reescribimos la ecuación de la recta para obtenerla en la forma estándar [tex]\(Ax + By + C = 0\)[/tex]. Originalmente la tenemos como [tex]\( y = x - 3y - 8 \)[/tex].
Sumamos [tex]\(3y\)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[ y + 3y = x - 8 \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 4y = x - 8 \][/tex]
Reordenamos para obtener la forma [tex]\(Ax + By + C = 0\)[/tex]:
[tex]\[ x - 4y - 8 = 0 \][/tex]
### 3. Sustitución de la recta en la circunferencia
Para encontrar los puntos de intersección entre la recta y la circunferencia, sustituimos la ecuación de la recta (en términos de [tex]\(y\)[/tex]) en la ecuación de la circunferencia.
Reescribimos la ecuación de la recta:
[tex]\[ x = 4y + 8 \][/tex]
Sustituimos [tex]\(x = 4y + 8\)[/tex] en la ecuación de la circunferencia:
[tex]\[ 25((4y + 8)^2 + y^2) - 150y - 64 = 0 \][/tex]
Expandiendo y simplificando la ecuación anterior (detalle que se omite por brevedad), obtenemos ecuaciones complejas que necesitamos resolver.
### 4. Resolución de las ecuaciones simultáneas
Usamos el método de resolución de sistemas de ecuaciones para las ecuaciones obtenidas.
### 5. Soluciones
Las soluciones que encontramos son:
[tex]\[ (20/17 - \frac{4\sqrt{5087}i}{85}, -29/17 - \frac{\sqrt{5087}i}{85}) \][/tex]
[tex]\[ (20/17 + \frac{4\sqrt{5087}i}{85}, -29/17 + \frac{\sqrt{5087}i}{85}) \][/tex]
Observando estas soluciones, notamos que contienen componentes imaginarias ([tex]\(i\)[/tex]).
### Conclusión
Debido a la presencia de componentes imaginarias en los puntos de intersección, concluimos que la recta [tex]\(x - 4y - 8 = 0\)[/tex] no intersecta la circunferencia [tex]\(25x^2 + 25y^2 - 150y - 64 = 0\)[/tex] en el plano real. Esto significa que la recta es exterior a la circunferencia y no tienen ningún punto en común en el plano real.
