Para encontrar los puntos de intersección de las circunferencias dadas por las ecuaciones [tex]\((x-7)^2 + (y-6)^2 = 169\)[/tex] y [tex]\((x+10)^2 + (y+11)^2 = 169\)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Ecuación de la primera circunferencia:
[tex]\[(x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 169\][/tex]
Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en [tex]\((7, 6)\)[/tex] y radio [tex]\(13\)[/tex] (ya que [tex]\(13^2 = 169\)[/tex]).
2. Ecuación de la segunda circunferencia:
[tex]\[(x + 10)^2 + (y + 11)^2 = 169\][/tex]
Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en [tex]\((-10, -11)\)[/tex] y radio [tex]\(13\)[/tex] (ya que [tex]\(13^2 = 169\)[/tex]).
3. Para encontrar los puntos de intersección, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones anteriores.
Para hacerlo, restamos una ecuación de la otra para eliminar los términos cuadráticos y simplificar el sistema:
[tex]\[
(x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 169
\][/tex]
[tex]\[
(x + 10)^2 + (y + 11)^2 = 169
\][/tex]
[tex]\[
[(x - 7)^2 + (y - 6)^2] - [(x + 10)^2 + (y + 11)^2] = 0
\][/tex]
4. Resolvemos el sistema para encontrar los valores de [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]:
Simplificando y resolviendo las ecuaciones obtenemos dos soluciones:
- La primera solución nos da el punto [tex]\((-5, 1)\)[/tex].
- La segunda solución nos da el punto [tex]\( (2, -6)\)[/tex].
Por tanto, los puntos donde se intersectan las circunferencias son [tex]\((-5, 1)\)[/tex] y [tex]\((2, -6)\)[/tex]. Uno de los puntos de intersección de las circunferencias es [tex]\((-5, 1)\)[/tex].
