Para determinar la distancia total recorrida por el balón cuando toca el suelo por quinta vez, vamos a analizar cada segmento del recorrido. El balón se deja caer inicialmente desde una altura de 10 metros. En cada rebote posterior, alcanza [tex]$\frac{3}{4}$[/tex] de la altura del rebote anterior.
Vamos a desglosar el proceso de cada rebote paso a paso:
1. Primer Rebote:
- El balón se deja caer desde una altura inicial de 10 metros.
- Llega al suelo, recorriendo 10 metros.
- Rebota y alcanza una altura de [tex]\(10 \times \frac{3}{4} = 7.5\)[/tex] metros.
2. Segundo Rebote:
- El balón cae desde 7.5 metros.
- Llega al suelo, recorriendo 7.5 metros.
- Rebota y alcanza una altura de [tex]\(7.5 \times \frac{3}{4} = 5.625\)[/tex] metros.
3. Tercer Rebote:
- El balón cae desde 5.625 metros.
- Llega al suelo, recorriendo 5.625 metros.
- Rebota y alcanza una altura de [tex]\(5.625 \times \frac{3}{4} = 4.21875\)[/tex] metros.
4. Cuarto Rebote:
- El balón cae desde 4.21875 metros.
- Llega al suelo, recorriendo 4.21875 metros.
- Rebota y alcanza una altura de [tex]\(4.21875 \times \frac{3}{4} = 3.1640625\)[/tex] metros.
5. Quinto Rebote:
- El balón cae desde 3.1640625 metros.
- Llega al suelo, recorriendo 3.1640625 metros.
- Para el quinto rebote solo consideramos la caída ya que tocó el suelo por quinta vez.
Ahora, sumamos todas las distancias recorridas:
- La primera caída inicial es de 10 metros.
- Para cada rebote adicional, tanto subida como bajada después del primer impacto:
- Primer rebote: [tex]\(10 + 2 \times 7.5 = 25\)[/tex] metros.
- Segundo rebote: [tex]\(2 \times 5.625 = 11.25\)[/tex] metros.
- Tercer rebote: [tex]\(2 \times 4.21875 = 8.4375\)[/tex] metros.
- Cuarto rebote: [tex]\(2 \times 3.1640625 = 6.328125\)[/tex] metros.
- La quinta caída: 3.1640625 metros.
Sumamos todas estas distancias:
[tex]\[10 + (2 \times 7.5) + (2 \times 5.625) + (2 \times 4.21875) + (2 \times 3.1640625) + 3.1640625\][/tex]
La distancia total recorrida por el balón cuando toca el suelo por quinta vez es aproximadamente [tex]\(53.388671875\)[/tex] metros.
