Para determinar el coeficiente independiente de la ecuación general de la circunferencia con centro en [tex]\( C (-4, -1) \)[/tex] y que es tangente a la recta [tex]\(3x - 2y - 12 = 0\)[/tex], debemos seguir varios pasos:
1. Calcular el radio de la circunferencia:
El radio de la circunferencia es la distancia desde su centro hasta la recta tangente. La distancia desde un punto [tex]\((x_0, y_0)\)[/tex] a una recta [tex]\(ax + by + c = 0\)[/tex] se calcula usando la fórmula:
[tex]\[
\text{distancia} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\][/tex]
En este caso, el centro de la circunferencia es [tex]\((-4, -1)\)[/tex], y la ecuación de la recta es [tex]\(3x - 2y - 12 = 0\)[/tex]. Sustituimos los valores en la fórmula:
[tex]\[
\text{radio} = \frac{|3(-4) - 2(-1) - 12|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|-12 + 2 - 12|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|-22|}{\sqrt{13}} = \frac{22}{\sqrt{13}} \approx 6.10170215847752
\][/tex]
2. Ecuación general de la circunferencia:
La ecuación general de una circunferencia con centro [tex]\((h, k)\)[/tex] y radio [tex]\(r\)[/tex] es:
[tex]\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\][/tex]
Donde [tex]\(D\)[/tex], [tex]\(E\)[/tex] y [tex]\(F\)[/tex] están relacionados con el centro [tex]\((h, k)\)[/tex] y el radio [tex]\(r\)[/tex] de la siguiente manera:
[tex]\[
D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^2 + k^2 - r^2
\][/tex]
3. Calcular los coeficientes [tex]\(D\)[/tex], [tex]\(E\)[/tex] y [tex]\(F\)[/tex]:
- El centro [tex]\((h, k)\)[/tex] es [tex]\((-4, -1)\)[/tex], por lo que:
[tex]\[
D = -2(-4) = 8
\][/tex]
[tex]\[
E = -2(-1) = 2
\][/tex]
- Calculamos [tex]\(F\)[/tex] utilizando la relación:
[tex]\[
F = h^2 + k^2 - r^2
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\(h = -4\)[/tex], [tex]\(k = -1\)[/tex] y [tex]\(r \approx 6.10170215847752\)[/tex]:
[tex]\[
F = (-4)^2 + (-1)^2 - (6.10170215847752)^2
\][/tex]
[tex]\[
F = 16 + 1 - 37.230769230769234
\][/tex]
[tex]\[
F \approx -20.230769230769234
\][/tex]
Por lo tanto, los coeficientes de la ecuación general de la circunferencia son [tex]\(D = 8\)[/tex], [tex]\(E = 2\)[/tex] y [tex]\(F \approx -20.230769230769234\)[/tex].
Finalmente, el coeficiente independiente [tex]\(F\)[/tex] de la ecuación general de la circunferencia es aproximadamente [tex]\( -20.230769230769234 \)[/tex].
