Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
1. Identificar las coordenadas del centro de la circunferencia:
Dado [tex]\( C(-4, -1) \)[/tex].
2. Determinar la ecuación de la recta tangente:
La recta tangente está dada por [tex]\( 3x - 2y - 12 = 0 \)[/tex].
3. Calcular la distancia desde el centro de la circunferencia a la recta:
La fórmula para la distancia [tex]\( d \)[/tex] desde un punto [tex]\( (x_1, y_1) \)[/tex] a una recta [tex]\( ax + by + c = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[
d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\][/tex]
Aquí, [tex]\( a = 3 \)[/tex], [tex]\( b = -2 \)[/tex] y [tex]\( c = -12 \)[/tex]. Las coordenadas del centro [tex]\( (x_1, y_1) \)[/tex] son [tex]\( (-4, -1) \)[/tex].
Sustituimos estos valores en la fórmula:
[tex]\[
d = \frac{|3(-4) + (-2)(-1) - 12|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}}
\][/tex]
[tex]\[
d = \frac{|-12 + 2 - 12|}{\sqrt{9 + 4}}
\][/tex]
[tex]\[
d = \frac{|-22|}{\sqrt{13}}
\][/tex]
[tex]\[
d = \frac{22}{\sqrt{13}}
\][/tex]
[tex]\[
d \approx 6.1017
\][/tex]
Entonces, el radio de la circunferencia es [tex]\( 6.1017 \)[/tex].
4. Escribir la ecuación general de la circunferencia:
La ecuación de una circunferencia con centro en [tex]\( (h, k) \)[/tex] y radio [tex]\( r \)[/tex] es:
[tex]\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\][/tex]
En nuestro caso, [tex]\( h = -4 \)[/tex], [tex]\( k = -1 \)[/tex], y [tex]\( r \approx 6.1017 \)[/tex]:
[tex]\[
(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = (6.1017)^2
\][/tex]
Expandiendo y simplificando:
[tex]\[
(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 6.1017^2
\][/tex]
[tex]\[
x^2 + 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 37.2308
\][/tex]
[tex]\[
x^2 + y^2 + 8x + 2y + 17 - 37.2308 = 0
\][/tex]
[tex]\[
x^2 + y^2 + 8x + 2y - 20.2308 = 0
\][/tex]
5. Identificar el coeficiente independiente:
El coeficiente independiente en la ecuación general de la circunferencia es el término constante que queda al final, sin ninguna variable:
[tex]\[
-20.2308
\][/tex]
Por lo tanto, el coeficiente independiente de la ecuación general de la circunferencia es [tex]\( -20.2308 \)[/tex].
