Para resolver este problema de decadencia exponencial, podemos utilizar la fórmula correspondiente al modelo de decaimiento exponencial continuo.
### Parte (a):
Dado:
- Población inicial [tex]\(y_0 = 5800\)[/tex] bacterias.
- Población restante después de 5 minutos [tex]\(y = 1856\)[/tex] bacterias.
- Tiempo transcurrido [tex]\(t = 5\)[/tex] minutos.
La fórmula general para el decaimiento exponencial es:
[tex]\[ y = y_0 e^{kt} \][/tex]
Necesitamos encontrar la constante de decaimiento [tex]\(k\)[/tex]. Para ello, utilizamos los valores dados en la ecuación:
[tex]\[ 1856 = 5800 e^{5k} \][/tex]
Para despejar [tex]\(k\)[/tex], reescribimos la ecuación:
[tex]\[ \frac{1856}{5800} = e^{5k} \][/tex]
Aplicamos el logaritmo natural a ambos lados:
[tex]\[ \ln\left(\frac{1856}{5800}\right) = 5k \ln(e) \][/tex]
[tex]\[ 5k = \ln\left(\frac{1856}{5800}\right) \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{1856}{5800}\right) \][/tex]
Simplificamos el valor exacto:
[tex]\[ k = \frac{\ln\left(\frac{1856}{5800}\right)}{5} = \ln\left(\left(\frac{1856}{5800}\right)^{1/5}\right) = \ln\left(\frac{10^{3/5}}{5}\right) \][/tex]
Por tanto, el valor exacto de [tex]\(k\)[/tex] es:
[tex]\[ k = \log\left(\frac{10^{3/5}}{5}\right) \][/tex]
La fórmula para [tex]\(y\)[/tex] en cualquier tiempo [tex]\(t\)[/tex] es:
[tex]\[ y = 5800 e^{t \cdot \log\left(\frac{10^{3/5}}{5}\right)} \][/tex]
### Parte (b):
Para encontrar la cantidad de bacterias después de 7 minutos, sustituimos [tex]\(t = 7\)[/tex] en la ecuación:
[tex]\[ y_{7} = 5800 e^{7 \cdot \log\left(\frac{10^{3/5}}{5}\right)} \][/tex]
Evaluamos esta expresión exacta:
[tex]\[ y_{7} = 3712 \cdot \frac{10^{1/5}}{5} \][/tex]
Aproximando al número entero más cercano:
[tex]\[ y_{7} \approx 1177 \][/tex]
Por lo tanto, el número de bacterias después de 7 minutos es:
[tex]\[ 1177 \text{ bacterias} \][/tex]
