Para resolver este problema debemos calcular el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte cuando una estatua proyecta una sombra que es tres veces su altura.
Llamemos [tex]\( h \)[/tex] a la altura de la estatua y [tex]\( s \)[/tex] a la longitud de la sombra proyectada.
Según el enunciado:
- La longitud de la sombra [tex]\( s \)[/tex] es tres veces la altura [tex]\( h \)[/tex].
Es decir:
[tex]\[ s = 3h \][/tex]
Si representamos la situación en un triángulo rectángulo, donde:
- [tex]\( h \)[/tex] es el lado opuesto al ángulo de elevación [tex]\( \theta \)[/tex],
- [tex]\( s \)[/tex] es el lado adyacente al ángulo de elevación [tex]\( \theta \)[/tex].
En trigonometría, la tangente de un ángulo [tex]\( \theta \)[/tex] en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
[tex]\[ \tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \][/tex]
En este caso:
[tex]\[ \tan(\theta) = \frac{h}{s} \][/tex]
Sustituyendo la relación entre la altura y la sombra:
[tex]\[ \tan(\theta) = \frac{h}{3h} = \frac{1}{3} \][/tex]
Para encontrar el ángulo de elevación [tex]\( \theta \)[/tex], necesitamos calcular el ángulo cuya tangente es [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex]. Esto es lo que conocemos como la función arco tangente:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \][/tex]
Entonces, la opción correcta es:
a) [tex]\(\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{3}\right)\)[/tex]
Para ser más precisos, el valor de la arcotangente de [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex] en radianes es aproximadamente:
[tex]\[ \theta \approx 0.3217505543966422 \][/tex]
Por lo tanto, el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte es [tex]\( \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) \)[/tex], que corresponde a la opción a).
