Vamos a hallar el término general para cada una de las sucesiones dadas mediante una cuidadosa observación de los patrones en los elementos de cada sucesión.
a. Para la sucesión [tex]\(a_n=\{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}\)[/tex]:
Observamos que cada término de la sucesión es sencillamente un número natural en orden ascendente.
- Término general: [tex]\(a_n = n\)[/tex]
b. Para la sucesión [tex]\(a_n=\{1, 4, 9, 16, \ldots\}\)[/tex]:
Notamos que cada término es el cuadrado del número de su posición en la sucesión: [tex]\(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots\)[/tex].
- Término general: [tex]\(a_n = n^2\)[/tex]
c. Para la sucesión [tex]\(a_n=\{4, 8, 12, 16, \ldots\}\)[/tex]:
Observamos que cada término es un múltiplo de 4: [tex]\(4 \times 1, 4 \times 2, 4 \times 3, 4 \times 4, \ldots\)[/tex].
- Término general: [tex]\(a_n = 4n\)[/tex]
d. Para la sucesión [tex]\(a_n=\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots\right\}\)[/tex]:
Observamos que cada término de la sucesión corresponde a la fracción de 1 sobre (n + 1): [tex]\(\frac{1}{1+1}, \frac{1}{2+1}, \frac{1}{3+1}, \frac{1}{4+1}, \ldots\)[/tex].
- Término general: [tex]\(a_n = \frac{1}{n+1}\)[/tex]
e. Para la sucesión [tex]\(a_n=\left\{\frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \ldots\right\}\)[/tex]:
Observamos que cada término de la sucesión corresponde a la fracción de 1 sobre (n + 5): [tex]\(\frac{1}{1+5}, \frac{1}{2+5}, \frac{1}{3+5}, \frac{1}{4+5}, \ldots\)[/tex].
- Término general: [tex]\(a_n = \frac{1}{n+5}\)[/tex]
f. Para la sucesión [tex]\(a_n=\left\{\frac{1}{3}, \frac{2}{6}, \frac{3}{11}, \frac{4}{18}, \ldots\right\}\)[/tex]:
Observamos que cada término puede expresarse en la forma [tex]\(\frac{n}{n^2 + 2}\)[/tex].
- Término general: [tex]\(a_n = \frac{n}{n^2 + 2}\)[/tex]
Estos son los términos generales para cada una de las sucesiones dadas.
