Answer :
Está bien, vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.
### 1. Suma de los vectores [tex]\( \vec{r} + \vec{r}' \)[/tex]
Dados:
[tex]\[ \vec{r} = \binom{5}{-4}, \quad \vec{r}' = \binom{7}{9} \][/tex]
Para sumar los vectores:
[tex]\[ \vec{r} + \vec{r}' = \binom{5}{-4} + \binom{7}{9} = \binom{5+7}{-4+9} = \binom{12}{5} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{r} + \vec{r}' \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \binom{a}{b} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{r} + \vec{r}' \| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{r} + \vec{r}' \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{13} \binom{12}{5} = \binom{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \approx \binom{0.9231}{0.3846} \][/tex]
### 2. Resta de los vectores [tex]\( \vec{r} - \vec{r}' \)[/tex]
Para restar los vectores:
[tex]\[ \vec{r} - \vec{r}' = \binom{5}{-4} - \binom{7}{9} = \binom{5-7}{-4-9} = \binom{-2}{-13} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{r} - \vec{r}' \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \binom{a}{b} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{r} - \vec{r}' \| = \sqrt{(-2)^2 + (-13)^2} = \sqrt{4 + 169} = \sqrt{173} \approx 13.153 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{r} - \vec{r}' \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{13.153} \binom{-2}{-13} \approx \binom{-0.1521}{-0.9884} \][/tex]
### 3. Suma de los vectores [tex]\( \vec{X} + \vec{Y} \)[/tex]
Dados:
[tex]\[ \vec{X} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{Y} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -15 \end{pmatrix} \][/tex]
Para sumar los vectores:
[tex]\[ \vec{X} + \vec{Y} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8+5 \\ -4-4 \\ 1-15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ -14 \end{pmatrix} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{X} + \vec{Y} \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{X} + \vec{Y} \| = \sqrt{(-3)^2 + (-8)^2 + (-14)^2} = \sqrt{9 + 64 + 196} = \sqrt{269} \approx 16.401 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{X} + \vec{Y} \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{16.401} \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ -14 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.1829 \\ -0.4878 \\ -0.8536 \end{pmatrix} \][/tex]
### 4. Resta de los vectores [tex]\( \vec{Y} - \vec{X} \)[/tex]
Para restar los vectores:
[tex]\[ \vec{Y} - \vec{X} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-(-8) \\ -4-(-4) \\ -15-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -16 \end{pmatrix} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{Y} - \vec{X} \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{Y} - \vec{X} \| = \sqrt{13^2 + 0^2 + (-16)^2} = \sqrt{169 + 256} = \sqrt{425} \approx 20.616 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{Y} - \vec{X} \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{20.616} \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -16 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.6306 \\ 0 \\ -0.7761 \end{pmatrix} \][/tex]
### 1. Suma de los vectores [tex]\( \vec{r} + \vec{r}' \)[/tex]
Dados:
[tex]\[ \vec{r} = \binom{5}{-4}, \quad \vec{r}' = \binom{7}{9} \][/tex]
Para sumar los vectores:
[tex]\[ \vec{r} + \vec{r}' = \binom{5}{-4} + \binom{7}{9} = \binom{5+7}{-4+9} = \binom{12}{5} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{r} + \vec{r}' \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \binom{a}{b} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{r} + \vec{r}' \| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{r} + \vec{r}' \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{13} \binom{12}{5} = \binom{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \approx \binom{0.9231}{0.3846} \][/tex]
### 2. Resta de los vectores [tex]\( \vec{r} - \vec{r}' \)[/tex]
Para restar los vectores:
[tex]\[ \vec{r} - \vec{r}' = \binom{5}{-4} - \binom{7}{9} = \binom{5-7}{-4-9} = \binom{-2}{-13} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{r} - \vec{r}' \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \binom{a}{b} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{r} - \vec{r}' \| = \sqrt{(-2)^2 + (-13)^2} = \sqrt{4 + 169} = \sqrt{173} \approx 13.153 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{r} - \vec{r}' \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{13.153} \binom{-2}{-13} \approx \binom{-0.1521}{-0.9884} \][/tex]
### 3. Suma de los vectores [tex]\( \vec{X} + \vec{Y} \)[/tex]
Dados:
[tex]\[ \vec{X} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{Y} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -15 \end{pmatrix} \][/tex]
Para sumar los vectores:
[tex]\[ \vec{X} + \vec{Y} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8+5 \\ -4-4 \\ 1-15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ -14 \end{pmatrix} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{X} + \vec{Y} \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{X} + \vec{Y} \| = \sqrt{(-3)^2 + (-8)^2 + (-14)^2} = \sqrt{9 + 64 + 196} = \sqrt{269} \approx 16.401 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{X} + \vec{Y} \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{16.401} \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ -14 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.1829 \\ -0.4878 \\ -0.8536 \end{pmatrix} \][/tex]
### 4. Resta de los vectores [tex]\( \vec{Y} - \vec{X} \)[/tex]
Para restar los vectores:
[tex]\[ \vec{Y} - \vec{X} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-(-8) \\ -4-(-4) \\ -15-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -16 \end{pmatrix} \][/tex]
Norma de [tex]\( \vec{Y} - \vec{X} \)[/tex]:
La norma de un vector [tex]\( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)[/tex] es:
[tex]\[ \| \vec{Y} - \vec{X} \| = \sqrt{13^2 + 0^2 + (-16)^2} = \sqrt{169 + 256} = \sqrt{425} \approx 20.616 \][/tex]
Vector unitario de [tex]\( \vec{Y} - \vec{X} \)[/tex]:
El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por su norma:
[tex]\[ \mathbf{u} = \frac{1}{20.616} \begin{pmatrix} 13 \\ 0 \\ -16 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.6306 \\ 0 \\ -0.7761 \end{pmatrix} \][/tex]
