Para resolver el problema de identificar el foco de una parábola dada por la ecuación [tex]\((y-k)^2 = 4p(x-h)\)[/tex], sigamos los pasos detallados a continuación.
1. Identificación de la forma de la parábola: La ecuación [tex]\((y-k)^2 = 4p(x-h)\)[/tex] representa una parábola horizontal. Esta forma es específica para parábolas cuyo eje de simetría es paralelo al eje [tex]\(x\)[/tex].
2. Determinación del vértice: El vértice de la parábola se encuentra en el punto [tex]\((h, k)\)[/tex]. Este punto es el punto central de la parábola y todos los demás puntos de la parábola están situados de acuerdo con esta referencia.
3. Identificación del parámetro [tex]\(p\)[/tex]: El parámetro [tex]\(p\)[/tex] en la ecuación [tex]\((y-k)^2 = 4p(x-h)\)[/tex] nos indica la distancia desde el vértice al foco en la dirección del eje [tex]\(x\)[/tex]. En el caso de una parábola horizontal, si [tex]\(p > 0\)[/tex], el foco estará a la derecha del vértice y si [tex]\(p < 0\)[/tex], el foco estará a la izquierda del vértice.
4. Determinación de la posición del foco: Para una parábola de la forma [tex]\((y-k)^2 = 4p(x-h)\)[/tex], el foco está siempre situado a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en la dirección del eje [tex]\(x\)[/tex]. Por lo tanto, el foco tendrá como coordenadas [tex]\((h + p, k)\)[/tex].
5. Conclusión: De acuerdo con el análisis anterior, el foco de la parábola dada por [tex]\((y-k)^2 = 4p(x-h)\)[/tex] está localizado en el punto [tex]\(F(h + p, k)\)[/tex].
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
b) [tex]\(F(h+p, k)\)[/tex]
