Para resolver el problema de encontrar la ecuación de la recta de la directriz de una parábola dada por [tex]\(x^2 = 4py\)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identificar la forma de la parábola:
La ecuación [tex]\(x^2 = 4py\)[/tex] corresponde a una parábola vertical que abre hacia arriba (si [tex]\(p > 0\)[/tex]) o hacia abajo (si [tex]\(p < 0\)[/tex]).
2. Definir los elementos de la parábola:
En esta forma de la parábola:
- El vértice está en el origen [tex]\((0, 0)\)[/tex].
- El foco está en el punto [tex]\((0, p)\)[/tex].
3. Definir la directriz:
- La directriz es una línea recta que está equidistante del vértice de la parábola en dirección opuesta al foco.
- Si el foco está en [tex]\((0, p)\)[/tex], la directriz estará a la misma distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice pero en la dirección opuesta, lo que significa que estará en [tex]\(y = -p\)[/tex].
4. Conclusión de la ecuación de la directriz:
Dado que la distancia del vértice al foco es [tex]\(p\)[/tex], la directriz es la línea horizontal que pasa por [tex]\(y = -p\)[/tex].
Por lo tanto, la ecuación de la directriz es [tex]\(y = -p\)[/tex].
La respuesta correcta es:
d) [tex]\(y = -p\)[/tex].
