Claro, vamos a determinar formalmente cuáles de las sucesiones dadas son crecientes y cuáles no lo son.
a. [tex]\( a_n = n - 1 \)[/tex]
Para determinar si la sucesión [tex]\( a_n = n - 1 \)[/tex] es creciente, observemos cómo cambia el término conforme incrementa [tex]\( n \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( a_1 = 1 - 1 = 0 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( a_2 = 2 - 1 = 1 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( a_3 = 3 - 1 = 2 \)[/tex].
- Y así sucesivamente.
Cada término [tex]\( a_n \)[/tex] es mayor que el término anterior [tex]\( a_{n-1} \)[/tex]. Por lo tanto, la sucesión [tex]\( a_n = n - 1 \)[/tex] es creciente.
b. [tex]\( a_n = \frac{3}{n} \)[/tex]
Para determinar si la sucesión [tex]\( a_n = \frac{3}{n} \)[/tex] es creciente, observemos cómo cambia el término conforme incrementa [tex]\( n \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( a_1 = \frac{3}{1} = 3 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( a_2 = \frac{3}{2} = 1.5 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( a_3 = \frac{3}{3} = 1 \)[/tex].
- Y así sucesivamente.
Cada término [tex]\( a_n \)[/tex] es menor que el término anterior [tex]\( a_{n-1} \)[/tex]. Por lo tanto, la sucesión [tex]\( a_n = \frac{3}{n} \)[/tex] no es creciente.
c. [tex]\( a_n = \frac{10 - 1}{2 n^{n-1}} = \frac{9}{2 n^{n-1}} \)[/tex]
Para determinar si la sucesión [tex]\( a_n = \frac{9}{2 n^{n-1}} \)[/tex] es creciente, observemos cómo cambia el término conforme incrementa [tex]\( n \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( a_1 = \frac{9}{2 \cdot 1^{0}} = \frac{9}{2} = 4.5 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( a_2 = \frac{9}{2 \cdot 2^{1}} = \frac{9}{4} = 2.25 \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( a_3 = \frac{9}{2 \cdot 3^{2}} = \frac{9}{18} = 0.5 \)[/tex].
Cada término [tex]\( a_n \)[/tex] es menor que el término anterior [tex]\( a_{n-1} \)[/tex]. Por lo tanto, la sucesión [tex]\( a_n = \frac{9}{2 n^{n-1}} \)[/tex] no es creciente.
d. [tex]\( a_n = \frac{n^3 + 3n^2 + 3n}{(n+1)^3} \)[/tex]
Para determinar si la sucesión [tex]\( a_n = \frac{n^3 + 3n^2 + 3n}{(n+1)^3} \)[/tex] es creciente, observemos cómo cambia el término conforme incrementa [tex]\( n \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 1 \)[/tex], [tex]\( a_1 = \frac{1^3 + 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1}{(1+1)^3} = \frac{1 + 3 + 3}{8} = \frac{7}{8} \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 2 \)[/tex], [tex]\( a_2 = \frac{2^3 + 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2}{(2+1)^3} = \frac{8 + 12 + 6}{27} = \frac{26}{27} \)[/tex].
- Para [tex]\( n = 3 \)[/tex], [tex]\( a_3 = \frac{3^3 + 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3}{(3+1)^3} = \frac{27 + 27 + 9}{64} = \frac{63}{64} \)[/tex].
Observamos que cada término [tex]\( a_n \)[/tex] es mayor que el término anterior [tex]\( a_{n-1} \)[/tex]. Por lo tanto, la sucesión [tex]\( a_n = \frac{n^3 + 3 n^2 + 3 n}{(n+1)^3} \)[/tex] es creciente.
En resumen:
- La sucesión [tex]\( a_n = n - 1 \)[/tex] es creciente.
- La sucesión [tex]\( a_n = \frac{3}{n} \)[/tex] no es creciente.
- La sucesión [tex]\( a_n = \frac{9}{2 n^{n-1}} \)[/tex] no es creciente.
- La sucesión [tex]\( a_n = \frac{n^3 + 3 n^2 + 3 n}{(n+1)^3} \)[/tex] es creciente.
