Para encontrar el número de términos de una progresión aritmética cuyo primer término es 3, el último término es -245 y la razón es [tex]\(-\frac{4}{3}\)[/tex], podemos utilizar la fórmula del término [tex]\( n \)[/tex]- ésimo de una progresión aritmética:
[tex]\[ a_n = a + (n - 1) \cdot d \][/tex]
Donde:
- [tex]\( a_n \)[/tex] es el término [tex]\( n \)[/tex]- ésimo (último término, en este caso, -245)
- [tex]\( a \)[/tex] es el primer término (3)
- [tex]\( d \)[/tex] es la razón de la progresión aritmética ([tex]\(-\frac{4}{3}\)[/tex])
- [tex]\( n \)[/tex] es el número de términos que queremos encontrar.
Necesitamos resolver la ecuación para [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[ a_n = a + (n - 1) \cdot d \][/tex]
Sustituyendo los valores dados:
[tex]\[ -245 = 3 + (n - 1) \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) \][/tex]
Primero, aislamos el término que incluye [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[ -245 - 3 = (n - 1) \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ -248 = (n - 1) \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) \][/tex]
Luego, para despejar [tex]\( n - 1 \)[/tex], multiplica ambos lados de la ecuación por el inverso de la razón:
[tex]\[ (n - 1) = \frac{-248}{-\frac{4}{3}} \][/tex]
Simplificando la fracción:
[tex]\[ (n - 1) = \frac{-248 \cdot -3}{4} \][/tex]
[tex]\[ (n - 1) = \frac{744}{4} \][/tex]
[tex]\[ (n - 1) = 186 \][/tex]
Finalmente, sumamos 1 para encontrar [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[ n = 186 + 1 \][/tex]
[tex]\[ n = 187 \][/tex]
Por lo tanto, el número de términos de la progresión aritmética es 187.
