Claro, resolvamos el problema paso a paso.
Estamos dados con una progresión aritmética (P.A.) cuyos términos son [tex]\(19\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex], [tex]\(c\)[/tex], [tex]\(d\)[/tex] y [tex]\(61\)[/tex]. Queremos encontrar el valor de la expresión [tex]\(\frac{d - b}{c}\)[/tex].
### Paso 1: Encontrar la razón [tex]\(d\)[/tex]
Recordemos que en una progresión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es constante. Llamemos a esta diferencia [tex]\(d\)[/tex].
Podemos usar el primer y quinto término para encontrar [tex]\(d\)[/tex]. Sabemos que:
[tex]\[ a_5 = a_1 + 4d \][/tex]
donde:
- [tex]\(a_5 = 61\)[/tex] (el quinto término)
- [tex]\(a_1 = 19\)[/tex] (el primer término)
Sustituyendo estos valores tenemos:
[tex]\[ 61 = 19 + 4d \][/tex]
De aquí, despejamos [tex]\(d\)[/tex]:
[tex]\[ 61 - 19 = 4d \][/tex]
[tex]\[ 42 = 4d \][/tex]
[tex]\[ d = \frac{42}{4} = 10.5 \][/tex]
### Paso 2: Calcular [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]
Ahora que sabemos que la razón [tex]\(d\)[/tex] es [tex]\(10.5\)[/tex], podemos encontrar los otros términos en la progresión aritmética.
El segundo término [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ b = a_1 + d \][/tex]
[tex]\[ b = 19 + 10.5 = 29.5 \][/tex]
El tercer término [tex]\(c\)[/tex]:
[tex]\[ c = a_1 + 2d \][/tex]
[tex]\[ c = 19 + 2(10.5) \][/tex]
[tex]\[ c = 19 + 21 = 40.0 \][/tex]
El cuarto término es simplemente 61 como ya se indicó.
### Paso 3: Encontrar [tex]\(\frac{d - b}{c}\)[/tex]
Sustituimos los valores encontrados para [tex]\(d\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] en la expresión [tex]\(\frac{d - b}{c}\)[/tex]:
[tex]\[ d = 10.5 \][/tex]
[tex]\[ b = 29.5 \][/tex]
[tex]\[ c = 40.0 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ \frac{d - b}{c} = \frac{10.5 - 29.5}{40.0} \][/tex]
[tex]\[ \frac{d - b}{c} = \frac{-19.0}{40.0} \][/tex]
[tex]\[ \frac{d - b}{c} = -0.475 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta es [tex]\(-0.475\)[/tex].
