Para resolver el problema, simplificamos la expresión dada paso a paso y determinamos la fracción irreductible cuya suma de términos nos dará la respuesta correcta.
Primero analizamos y simplificamos cada parte de la expresión [tex]\( H \)[/tex]:
1. Numerador:
[tex]\[
\left[\log _{49} 343\right]^{\left(\log _5 30-1\right)\left(\log _{\sqrt{6}} \sqrt{5}\right)}
\][/tex]
- Cálculo de [tex]\(\log_{49} 343\)[/tex]:
[tex]\[
\log_{49} 343 = 1.5
\][/tex]
- Cálculo de [tex]\(\log_5 30\)[/tex]:
[tex]\[
\log_5 30 = 2.1132827525593787
\][/tex]
- Restando 1 a [tex]\(\log_5 30\)[/tex]:
[tex]\[
\log_5 30 - 1 = 2.1132827525593787 - 1 = 1.1132827525593787
\][/tex]
- Cálculo de [tex]\(\log_{\sqrt{6}} \sqrt{5}\)[/tex]:
[tex]\[
\log_{\sqrt{6}} \sqrt{5} = 0.8982444017039274
\][/tex]
- Multiplicando [tex]\((\log_5 30 - 1)\)[/tex] y [tex]\((\log_{\sqrt{6}} \sqrt{5})\)[/tex]:
[tex]\[
1.1132827525593787 \times 0.8982444017039274 = 1
\][/tex]
- Elevamos [tex]\(\log_{49} 343\)[/tex] al resultado anterior:
[tex]\[
\left(1.5\right)^1 = 1.5
\][/tex]
El numerador simplificado es [tex]\( 1.5 \)[/tex].
2. Denominador:
[tex]\[
\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots\right)^2
\][/tex]
- Esta es una serie geométrica infinita con [tex]\( a = 1 \)[/tex] y [tex]\( r = \frac{1}{2} \)[/tex].
La suma de una serie geométrica infinita es [tex]\( \frac{a}{1 - r} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{0.5} = 2
\][/tex]
- Elevamos el resultado al cuadrado:
[tex]\[
2^2 = 4
\][/tex]
El denominador simplificado es [tex]\( 4 \)[/tex].
3. Simplificación de [tex]\( H \)[/tex]:
[tex]\[
H = \frac{1.5}{4} = 0.375
\][/tex]
Convertimos [tex]\( 0.375 \)[/tex] a fracción irreductible:
[tex]\[
0.375 = \frac{3}{8}
\][/tex]
La fracción irreductible es [tex]\( \frac{3}{8} \)[/tex].
4. Suma de los términos de la fracción irreductible:
[tex]\[
3 + 8 = 11
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[
\boxed{11}
\][/tex]
