¡Por supuesto! Vamos a resolver la pregunta paso a paso.
### Paso 1: Resolver la ecuación de demanda para [tex]\( x \)[/tex]
Dada la ecuación de demanda:
[tex]\[ x^{3/2} + 50p = 1000 \][/tex]
Queremos expresar [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( p \)[/tex]. Para ello, despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x^{3/2} = 1000 - 50p \][/tex]
[tex]\[ x = \left(1000 - 50p\right)^{2/3} \][/tex]
### Paso 2: Definir el ingreso total [tex]\( R \)[/tex]
El ingreso total [tex]\( R \)[/tex] está dado por el producto del precio [tex]\( p \)[/tex] y la cantidad [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ R = p \cdot x \][/tex]
Sustituimos [tex]\( x \)[/tex] con la expresión que obtuvimos anteriormente:
[tex]\[ R = p \left(1000 - 50p\right)^{2/3} \][/tex]
### Paso 3: Derivar el ingreso total respecto al precio [tex]\( p \)[/tex] para obtener el ingreso marginal
Para obtener el ingreso marginal, derivamos [tex]\( R \)[/tex] respecto a [tex]\( p \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{dR}{dp} = \frac{d}{dp} \left[ p \left(1000 - 50p\right)^{2/3} \right] \][/tex]
Usamos la regla del producto para derivar:
[tex]\[ \frac{dR}{dp} = \left(1000 - 50p\right)^{2/3} + p \cdot \frac{d}{dp}\left(1000 - 50p\right)^{2/3} \][/tex]
Derivamos la segunda parte usando la regla de la cadena:
[tex]\[ \frac{d}{dp}\left(1000 - 50p\right)^{2/3} = \frac{2}{3} \left(1000 - 50p\right)^{-1/3} \cdot (-50) \][/tex]
Ahora sustituimos esta derivada en la expresión del ingreso marginal:
[tex]\[ \frac{dR}{dp} = \left(1000 - 50p\right)^{2/3} + p \cdot \frac{2}{3} \left(1000 - 50p\right)^{-1/3} \cdot (-50) \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ \frac{dR}{dp} = \left(1000 - 50p\right)^{2/3} - \frac{100p}{3} \left(1000 - 50p\right)^{-1/3} \][/tex]
### Paso 4: Evaluar el ingreso marginal en [tex]\( p = 16 \)[/tex]
Sustituimos [tex]\( p = 16 \)[/tex] en la expresión del ingreso marginal:
[tex]\[ \frac{dR}{dp} \Bigg|_{p=16} = \left(1000 - 50 \cdot 16\right)^{2/3} - \frac{100 \cdot 16}{3} \left(1000 - 50 \cdot 16\right)^{-1/3} \][/tex]
Calculamos:
[tex]\[ 1000 - 50 \cdot 16 = 1000 - 800 = 200 \][/tex]
Ahora sustituimos este resultado en la expresión:
[tex]\[ \frac{dR}{dp} \Bigg|_{p=16} = 200^{2/3} - \frac{1600}{3} \cdot 200^{-1/3} \][/tex]
Simplificando estas operaciones, obtenemos:
[tex]\[ \frac{dR}{dp} \Bigg|_{p=16} \approx -57 \][/tex]
### Conclusión
El ingreso marginal cuando el precio [tex]\( p = 16 \)[/tex] es aproximadamente -57.
