Para resolver la pregunta de calcular el ingreso marginal cuando [tex]\( p = 16 \)[/tex], seguimos los siguientes pasos:
1. Definir la ecuación de demanda:
La ecuación de demanda dada es:
[tex]\[
x^{3/2} + 50p = 1000
\][/tex]
2. Resolver para [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( p \)[/tex]:
Despejamos [tex]\( x \)[/tex] de la ecuación de demanda:
[tex]\[
x^{3/2} = 1000 - 50p
\][/tex]
[tex]\[
x = \left(1000 - 50p\right)^{2/3}
\][/tex]
3. Calcular los ingresos totales (TR):
Los ingresos totales son el producto de la cantidad demandada [tex]\( x \)[/tex] y el precio [tex]\( p \)[/tex]:
[tex]\[
TR = x \cdot p
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( x \)[/tex] en la ecuación:
[tex]\[
TR = \left(1000 - 50p\right)^{2/3} \cdot p
\][/tex]
4. Encontrar el ingreso marginal (MR):
El ingreso marginal se obtiene derivando los ingresos totales con respecto al precio [tex]\( p \)[/tex]:
[tex]\[
MR = \frac{d(TR)}{dp}
\][/tex]
5. Sustituir [tex]\( p = 16 \)[/tex] en el ingreso marginal:
Evaluamos el ingreso marginal en [tex]\( p = 16 \)[/tex]:
[tex]\[
MR \quad \text{cuando} \quad p = 16
\][/tex]
El resultado de estos cálculos nos da los siguientes valores:
- La cantidad [tex]\( x \)[/tex] cuando [tex]\( p = 16 \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 34.1995 \)[/tex].
- Los ingresos totales (TR) cuando [tex]\( p = 16 \)[/tex] son aproximadamente [tex]\( 547.1923 \)[/tex].
- El ingreso marginal (MR) cuando [tex]\( p = 16 \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( -56.9992 \)[/tex].
Por lo tanto, el ingreso marginal cuando [tex]\( p = 16 \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( -56.9992 \)[/tex], indicando que incrementar el precio en este punto resultaría en una reducción en los ingresos totales.
