Para resolver el problema, necesitamos calcular el ingreso marginal (marginal revenue) dado por la ecuación de demanda [tex]$10p + x + 0.01x^2 = 700$[/tex], cuando el precio [tex]$p$[/tex] es 10.
Paso 1: Resolver para la cantidad demandada [tex]\( x \)[/tex] cuando [tex]\( p = 10 \)[/tex]
Primero, sustituimos [tex]\( p = 10 \)[/tex] en la ecuación de demanda.
[tex]\[ 10(10) + x + 0.01x^2 = 700 \][/tex]
[tex]\[ 100 + x + 0.01x^2 = 700 \][/tex]
Restamos 100 de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ x + 0.01x^2 = 600 \][/tex]
Reescribimos la ecuación como una ecuación cuadrática:
[tex]\[ 0.01x^2 + x - 600 = 0 \][/tex]
Para resolver esta ecuación cuadrática, usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Donde [tex]\( a = 0.01 \)[/tex], [tex]\( b = 1 \)[/tex] y [tex]\( c = -600 \)[/tex].
[tex]\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(0.01)(-600)}}{2(0.01)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{0.02} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{0.02} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-1 \pm 5}{0.02} \][/tex]
Esto nos da dos posibles soluciones para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{-1 + 5}{0.02} = \frac{4}{0.02} = 200 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-1 - 5}{0.02} = \frac{-6}{0.02} = -300 \][/tex]
Descartamos [tex]\( x = -300 \)[/tex] porque la cantidad demandada no puede ser negativa. Por lo tanto, [tex]\( x = 200 \)[/tex].
Paso 2: Definir la función de ingreso [tex]\( R(p, x) = p \cdot x \)[/tex]
La función de ingreso [tex]\( R(p, x) \)[/tex] es simplemente el precio [tex]\( p \)[/tex] multiplicado por la cantidad [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ R(p, x) = p \cdot x \][/tex]
Sustituimos [tex]\( p = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ R(10, x) = 10 \cdot x \][/tex]
Paso 3: Calcular el ingreso marginal [tex]\( MR \)[/tex]
El ingreso marginal es la derivada de la función de ingreso con respecto a [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ MR = \frac{dR}{dx} \][/tex]
Dado que [tex]\( R(10, x) = 10x \)[/tex]:
[tex]\[ MR = \frac{d}{dx}(10x) \][/tex]
[tex]\[ MR = 10 \][/tex]
Por lo tanto, el ingreso marginal cuando [tex]\( p = 10 \)[/tex] y la cantidad [tex]\( x \)[/tex] es 200 es:
[tex]\[ MR = 10 \][/tex]
