Vamos a resolver los ejercicios paso a paso utilizando las propiedades de las potencias.
### Ejercicio 11
#### a) [tex]\(\left(\frac{2^3 3^3}{3^4 2^2}\right)^2\)[/tex]
1. Primero, simplificamos la expresión dentro de los paréntesis:
[tex]\[
\frac{2^3 3^3}{3^4 2^2}
\][/tex]
2. Simplificamos la base [tex]\(2\)[/tex]:
[tex]\[
2^3 \div 2^2 = 2^{3-2} = 2^1 = 2
\][/tex]
3. Simplificamos la base [tex]\(3\)[/tex]:
[tex]\[
3^3 \div 3^4 = 3^{3-4} = 3^{-1} = \frac{1}{3}
\][/tex]
4. Entonces la expresión simplificada es:
[tex]\[
\frac{2}{3}
\][/tex]
5. Ahora, elevamos esta fracción al cuadrado:
[tex]\[
\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}
\][/tex]
#### Respuesta a:
[tex]\[
\left(\frac{2^3 3^3}{3^4 2^2}\right)^2 = 0.444 \approx \frac{4}{9} \approx 0.444
\][/tex]
#### b) [tex]\(\sqrt{5^2} \cdot 3^3\)[/tex]
1. Primero, evaluamos la raíz cuadrada:
[tex]\[
\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5
\][/tex]
2. Luego, calculamos [tex]\(3^3\)[/tex]:
[tex]\[
3^3 = 27
\][/tex]
3. Finalmente, multiplicamos los dos resultados:
[tex]\[
5 \cdot 27 = 135
\][/tex]
#### Respuesta a:
[tex]\[
\sqrt{5^2} \cdot 3^3 = 135
\][/tex]
#### c) [tex]\(\left(\frac{2}{4}\right)^3 \left(\frac{-3}{2}\right)^2\)[/tex]
1. Simplificamos la fracción [tex]\(\frac{2}{4}\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\][/tex]
2. Elevamos la fracción simplificada al cubo:
[tex]\[
\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}
\][/tex]
3. Elevamos la fracción [tex]\(\frac{-3}{2}\)[/tex] al cuadrado:
[tex]\[
\left(\frac{-3}{2}\right)^2 = \left(\frac{-3}{2} \times \frac{-3}{2}\right) = \frac{9}{4}
\][/tex]
4. Multiplicamos los resultados:
[tex]\[
\frac{1}{8} \times \frac{9}{4} = \frac{1 \times 9}{8 \times 4} = \frac{9}{32}
\][/tex]
#### Respuesta a:
[tex]\[
\left(\frac{2}{4}\right)^3 \left(\frac{-3}{2}\right)^2 = 0.28125
\][/tex]
### Ejercicio 12
Para este ejercicio, sería necesario que proporcionaras las expresiones específicas a simplificar. De lo contrario, no puedo proporcionar una solución detallada.
Si tienes dudas adicionales o necesitas más aclaraciones, no dudes en preguntar.
