Para resolver este problema, primero debemos entender la relación entre los exponentes del polinomio [tex]\(P(x)\)[/tex] y las variables [tex]\(m\)[/tex], [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(r\)[/tex]. El polinomio es [tex]\(P(x) = 5x^{m-18} - 23x^{m-a+15} + 31x^{r-a+16}\)[/tex].
Nos dan que el polinomio está completo y ordenado en forma descendente. Esto significa que el exponente [tex]\(m-18\)[/tex] es el mayor, seguido por [tex]\(m-a+15\)[/tex], y finalmente [tex]\(r-a+16\)[/tex]. Así, podemos escribir las siguientes inequaciones:
1. [tex]\(m-18 > m-a+15\)[/tex]
2. [tex]\(m-a+15 > r-a+16\)[/tex]
Primero, resolvemos la primera inequación:
[tex]\[ m - 18 > m - a + 15 \][/tex]
[tex]\[ -18 > -a + 15 \][/tex]
[tex]\[ -18 - 15 > -a \][/tex]
[tex]\[ -33 > -a \][/tex]
Multiplicamos por [tex]\(-1\)[/tex]:
[tex]\[ a > 33 \][/tex]
Ahora, resolvemos la segunda inequación:
[tex]\[ m - a + 15 > r - a + 16 \][/tex]
[tex]\[ m - a + 15 > r - a + 16 \][/tex]
Restamos [tex]\(r\)[/tex] y [tex]\(a\)[/tex] en ambos lados de la inequación:
[tex]\[ m - a + 15 > r - a + 16 \][/tex]
[tex]\[ m - a + 15 - 16 > r - a \][/tex]
[tex]\[ m - a - 1 > r - a \][/tex]
[tex]\[ m - 1 > r \][/tex]
Finalmente, sabemos que [tex]\(a > 33\)[/tex]. Entonces, expresamos todas las variables en función de estas desigualdades:
[tex]\[ E = m + a + r \][/tex]
Dado que necesitamos valores que cumplan las anteriores relaciones, seleccionamos los valores de opciones [tex]\(63, 62, 84, 53, 72\)[/tex] y buscamos [tex]\(m+a+r\)[/tex].
Verificamos cada opción:
1. Si [tex]\(m+a+r=63\)[/tex]
2. Si [tex]\(m+a+r=62\)[/tex]
3. Si [tex]\(m+a+r=84\)[/tex] (opción que cumplirá)
4. Si [tex]\(m+a+r=53\)[/tex]
5. Si [tex]\(m+a+r=72\)[/tex]
Observamos que si [tex]\(m=34\)[/tex], [tex]\(a=35\)[/tex], [tex]\(r=15\)[/tex]:
[tex]\[m - 1 = 33 > r\][/tex]
[tex]\[m+a+r=34+35+15=84\][/tex]
Dichos valores cumplen nuestra desigualdad confirmando que los coeficientes son correctos y adecuados ampliando que:
[tex]\[ a > 33\][/tex], \(m>18\]
[tex]\[E = m + a + r = 34+35+15 = 84. \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{84} \][/tex]
