Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución.
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\left\{\begin{array}{l}
1) \ 5x + 2y = 1 \\
2) \ -3x + 3y = 5
\end{array}\right.
\][/tex]
Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones. Vamos a despejar [tex]\( y \)[/tex] en la primera ecuación (1).
[tex]\[
5x + 2y = 1 \implies 2y = 1 - 5x \implies y = \frac{1 - 5x}{2}
\][/tex]
Paso 2: Sustituir la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la otra ecuación. Sustituimos [tex]\( y = \frac{1 - 5x}{2} \)[/tex] en la segunda ecuación (2).
[tex]\[
-3x + 3y = 5 \implies -3x + 3\left(\frac{1 - 5x}{2}\right) = 5
\][/tex]
Paso 3: Resolver la ecuación resultante para [tex]\( x \)[/tex].
[tex]\[
-3x + \frac{3 (1 - 5x)}{2} = 5
\][/tex]
Multiplicamos cada término dentro del paréntesis por 3:
[tex]\[
-3x + \frac{3 - 15x}{2} = 5
\][/tex]
Multiplicamos toda la ecuación por 2 para eliminar el denominador:
[tex]\[
2 \left( -3x \right) + 3 - 15x = 10 \implies -6x + 3 - 15x = 10
\][/tex]
Combinamos los términos semejantes:
[tex]\[
-21x + 3 = 10 \implies -21x = 10 - 3 \implies -21x = 7 \implies x = -\frac{7}{21} \implies x = -\frac{1}{3}
\][/tex]
Paso 4: Sustituir el valor de [tex]\( x \)[/tex] encontrado en la expresión despejada de [tex]\( y \)[/tex].
Usamos [tex]\( y = \frac{1 - 5x}{2} \)[/tex] y sustituimos [tex]\( x = -\frac{1}{3} \)[/tex]:
[tex]\[
y = \frac{1 - 5 \left(-\frac{1}{3}\right)}{2} = \frac{1 + \frac{5}{3}}{2} = \frac{1 + \frac{5}{3}}{2} = \frac{\frac{3}{3} + \frac{5}{3}}{2} = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\][/tex]
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
x = -\frac{1}{3}, \quad y = \frac{4}{3}
\][/tex]
