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Un factor del polinomio [tex]$3x^3 + 20x^2 - 21x + 88$[/tex] es [tex]$(x + 8)$[/tex]. ¿Cuál es el otro factor del polinomio? (Nota: utiliza la división larga).

A. [tex]$\left(3x^2 - 4x + 11\right)$[/tex]
B. [tex][tex]$\left(3x^2 - 4x\right)$[/tex][/tex]
C. [tex]$\left(3x^2 + 11\right)$[/tex]
D. [tex]$\left(3x^2 + 4x - 11\right)$[/tex]



Answer :

Para encontrar el otro factor del polinomio [tex]\(3x^3 + 20x^2 - 21x + 88\)[/tex] dado que [tex]\(x + 8\)[/tex] es un factor del mismo, utilizaremos la división larga de polinomios. Aquí están los pasos detallados para realizar esta división:

1. Preparación:
- Dividendo: [tex]\(3x^3 + 20x^2 - 21x + 88\)[/tex]
- Divisor: [tex]\(x + 8\)[/tex]

2. División:
- Primer término de la división:
Dividimos el primer término del dividendo [tex]\(3x^3\)[/tex] por el primer término del divisor [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{3x^3}{x} = 3x^2 \][/tex]
Este será el primer término del cociente.

- Multiplicación y resta:
Multiplicamos este término del cociente por el divisor y restamos del dividendo:
[tex]\[ (3x^2) \cdot (x + 8) = 3x^3 + 24x^2 \][/tex]
Restamos este resultado del dividendo completo:
[tex]\[ (3x^3 + 20x^2 - 21x + 88) - (3x^3 + 24x^2) = -4x^2 - 21x + 88 \][/tex]

- Segundo término de la división:
Dividimos el nuevo primer término del dividendo [tex]\(-4x^2\)[/tex] por el primer término del divisor [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{-4x^2}{x} = -4x \][/tex]
Este será el siguiente término del cociente.

- Multiplicación y resta:
Multiplicamos este término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo:
[tex]\[ (-4x) \cdot (x + 8) = -4x^2 - 32x \][/tex]
Restamos este resultado del dividendo que ya teníamos:
[tex]\[ (-4x^2 - 21x + 88) - (-4x^2 - 32x) = 11x + 88 \][/tex]

- Tercer término de la división:
Dividimos el nuevo primer término del dividendo [tex]\(11x\)[/tex] por el primer término del divisor [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{11x}{x} = 11 \][/tex]
Este será el último término del cociente.

- Multiplicación final y resta:
Multiplicamos este último término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo:
[tex]\[ (11) \cdot (x + 8) = 11x + 88 \][/tex]
Restamos este resultado del dividido que teníamos:
[tex]\[ (11x + 88) - (11x + 88) = 0 \][/tex]

Por lo tanto, el cociente obtenido del proceso de división es [tex]\(3x^2 - 4x + 11\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex], lo que confirma que la división es exacta.

Conclusión:
El otro factor del polinomio es:
[tex]\[ 3x^2 - 4x + 11 \][/tex]

La respuesta correcta es la opción A.