Answer :
Bien sûr ! Examinons ces questions en détail.
1) Suite [tex]\( U_n \)[/tex] définie par [tex]\( U_n = \frac{2n + 5}{n + 3} \)[/tex] pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]
### a) Calculer les 3 premiers termes ainsi que son 10ème terme
Calculons directement:
- Pour [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ U_1 = \frac{2 \cdot 1 + 5}{1 + 3} = \frac{7}{4} = 1.75 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_2 = \frac{2 \cdot 2 + 5}{2 + 3} = \frac{9}{5} = 1.8 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ U_3 = \frac{2 \cdot 3 + 5}{3 + 3} = \frac{11}{6} \approx 1.833 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ U_{10} = \frac{2 \cdot 10 + 5}{10 + 3} = \frac{25}{13} \approx 1.923 \][/tex]
### b) Étudier les variations de [tex]\( U_n \)[/tex]
Pour étudier les variations d'une suite, calculons sa dérivée. La dérivée de [tex]\( U_n \)[/tex] par rapport à [tex]\( n \)[/tex] est :
[tex]\[ \frac{d}{dn} \left(\frac{2n + 5}{n + 3}\right) = \frac{2}{n + 3} - \frac{2n + 5}{(n + 3)^2} = \frac{2(n + 3) - (2n + 5)}{(n + 3)^2} = \frac{6 - 5}{(n + 3)^2} = \frac{1}{(n + 3)^2} \][/tex]
Puisque le dénominateur [tex]\((n + 3)^2\)[/tex] est toujours positif pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex] et que le numérateur est la constante 1, la dérivée est toujours positive. Donc, la suite [tex]\( U_n \)[/tex] est strictement croissante.
### c) Calculer [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex] puis comparer les résultats
Calculons [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_n + 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} + 2 = \frac{2n + 5 + 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 + 2n + 6}{n + 3} = \frac{4n + 11}{n + 3} \][/tex]
[tex]\[ U_n - 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} - 2 = \frac{2n + 5 - 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 - 2n - 6}{n + 3} = \frac{-1}{n + 3} \][/tex]
Comparons-les :
[tex]\[ (U_n + 2) - (U_n - 2) = \frac{4n + 11}{n + 3} - \frac{-1}{n + 3} = \frac{4n + 11 + 1}{n + 3} = \frac{4n + 12}{n + 3} = 4 \][/tex]
Ce qui montre que [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] est toujours 4 unités plus élevé que [tex]\( U_n - 2 \)[/tex].
2) Montrer que [tex]\( U_n \)[/tex] est une suite périodique. [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex]
On utilise la définition donnée. La fonction cosinus est périodique, mais ici nous avons [tex]\( n^2 \)[/tex] à l'intérieur. La périodicité de [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] est moins évidente car [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] ne revient pas régulièrement à ses valeurs initiales pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]. Donc, la suite [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex] n'est en général pas périodique.
Complexe:
### 1) Déterminer les racines cinquièmes du nombre complexe [tex]\( z = 1 - i\sqrt{3} \)[/tex]
Pour trouver les racines cinquièmes d'un nombre complexe, il existe deux méthodes principales : la méthode trigonométrique et la méthode algébrique. Les racines cinquièmes de [tex]\( z \)[/tex] sont :
[tex]\[ \{(1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{2/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{4/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{1/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{3/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}\} \][/tex]
### 2) Déterminer la forme algébrique et la forme matricielle des nombres complexes.
Pour trouver les formes algébrique et matricielle des complexes suivants :
Pour chaque nombre complexe [tex]\( Z \)[/tex], nous trouvons leur forme algébrique classique, puis les convertissons en formes matricielles.
- [tex]\( Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_1 = \frac{(2i + 5) (3 - 4i)}{(4i + 3)(3 - 4i)} = \frac{3 \cdot 5 - 4i \cdot 5 + 2i \cdot 3 - 2i \cdot (-4i)}{3^2 + (4i)^2} = \frac{15 - 20i + 6i + 8}{25} = \frac{3 - 4i}{5}(3 + 2* i) \][/tex]
- [tex]\( Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \times \frac{4i - 8}{4i - 8} = \frac{4i - 8}{(4i)^2 + 8^2} = \frac{4i - 8}{80} = \frac{4i - 8}{8} * \frac{1}{10} \][/tex]
- [tex]\( Z_3 = \frac{1 + 1}{2i + 3} \)[/tex] :
[tex]\[ Z_3 = \frac{2}{2i + 3} \times \frac{3 - 2i}{3 - 2i}= \frac{2*3 -2i 2}{9 - 4}-\times \frac{1}{13} \][/tex]
- [tex]\( Z_4 = \frac{3i + 5}{i} \)[/tex]
[tex]\[ Z_4 = \frac{3i + 5}{i} = -i(3i)=5-i \][/tex]
J'espère que cela vous est utile ! Si vous avez des questions supplémentaires à ce sujet, n'hésitez pas à demander.
1) Suite [tex]\( U_n \)[/tex] définie par [tex]\( U_n = \frac{2n + 5}{n + 3} \)[/tex] pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]
### a) Calculer les 3 premiers termes ainsi que son 10ème terme
Calculons directement:
- Pour [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ U_1 = \frac{2 \cdot 1 + 5}{1 + 3} = \frac{7}{4} = 1.75 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_2 = \frac{2 \cdot 2 + 5}{2 + 3} = \frac{9}{5} = 1.8 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ U_3 = \frac{2 \cdot 3 + 5}{3 + 3} = \frac{11}{6} \approx 1.833 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ U_{10} = \frac{2 \cdot 10 + 5}{10 + 3} = \frac{25}{13} \approx 1.923 \][/tex]
### b) Étudier les variations de [tex]\( U_n \)[/tex]
Pour étudier les variations d'une suite, calculons sa dérivée. La dérivée de [tex]\( U_n \)[/tex] par rapport à [tex]\( n \)[/tex] est :
[tex]\[ \frac{d}{dn} \left(\frac{2n + 5}{n + 3}\right) = \frac{2}{n + 3} - \frac{2n + 5}{(n + 3)^2} = \frac{2(n + 3) - (2n + 5)}{(n + 3)^2} = \frac{6 - 5}{(n + 3)^2} = \frac{1}{(n + 3)^2} \][/tex]
Puisque le dénominateur [tex]\((n + 3)^2\)[/tex] est toujours positif pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex] et que le numérateur est la constante 1, la dérivée est toujours positive. Donc, la suite [tex]\( U_n \)[/tex] est strictement croissante.
### c) Calculer [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex] puis comparer les résultats
Calculons [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_n + 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} + 2 = \frac{2n + 5 + 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 + 2n + 6}{n + 3} = \frac{4n + 11}{n + 3} \][/tex]
[tex]\[ U_n - 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} - 2 = \frac{2n + 5 - 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 - 2n - 6}{n + 3} = \frac{-1}{n + 3} \][/tex]
Comparons-les :
[tex]\[ (U_n + 2) - (U_n - 2) = \frac{4n + 11}{n + 3} - \frac{-1}{n + 3} = \frac{4n + 11 + 1}{n + 3} = \frac{4n + 12}{n + 3} = 4 \][/tex]
Ce qui montre que [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] est toujours 4 unités plus élevé que [tex]\( U_n - 2 \)[/tex].
2) Montrer que [tex]\( U_n \)[/tex] est une suite périodique. [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex]
On utilise la définition donnée. La fonction cosinus est périodique, mais ici nous avons [tex]\( n^2 \)[/tex] à l'intérieur. La périodicité de [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] est moins évidente car [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] ne revient pas régulièrement à ses valeurs initiales pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]. Donc, la suite [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex] n'est en général pas périodique.
Complexe:
### 1) Déterminer les racines cinquièmes du nombre complexe [tex]\( z = 1 - i\sqrt{3} \)[/tex]
Pour trouver les racines cinquièmes d'un nombre complexe, il existe deux méthodes principales : la méthode trigonométrique et la méthode algébrique. Les racines cinquièmes de [tex]\( z \)[/tex] sont :
[tex]\[ \{(1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{2/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{4/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{1/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{3/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}\} \][/tex]
### 2) Déterminer la forme algébrique et la forme matricielle des nombres complexes.
Pour trouver les formes algébrique et matricielle des complexes suivants :
Pour chaque nombre complexe [tex]\( Z \)[/tex], nous trouvons leur forme algébrique classique, puis les convertissons en formes matricielles.
- [tex]\( Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_1 = \frac{(2i + 5) (3 - 4i)}{(4i + 3)(3 - 4i)} = \frac{3 \cdot 5 - 4i \cdot 5 + 2i \cdot 3 - 2i \cdot (-4i)}{3^2 + (4i)^2} = \frac{15 - 20i + 6i + 8}{25} = \frac{3 - 4i}{5}(3 + 2* i) \][/tex]
- [tex]\( Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \times \frac{4i - 8}{4i - 8} = \frac{4i - 8}{(4i)^2 + 8^2} = \frac{4i - 8}{80} = \frac{4i - 8}{8} * \frac{1}{10} \][/tex]
- [tex]\( Z_3 = \frac{1 + 1}{2i + 3} \)[/tex] :
[tex]\[ Z_3 = \frac{2}{2i + 3} \times \frac{3 - 2i}{3 - 2i}= \frac{2*3 -2i 2}{9 - 4}-\times \frac{1}{13} \][/tex]
- [tex]\( Z_4 = \frac{3i + 5}{i} \)[/tex]
[tex]\[ Z_4 = \frac{3i + 5}{i} = -i(3i)=5-i \][/tex]
J'espère que cela vous est utile ! Si vous avez des questions supplémentaires à ce sujet, n'hésitez pas à demander.
