Para determinar el valor de [tex]\( a \)[/tex] en los términos semejantes [tex]\( M \)[/tex] y [tex]\( N \)[/tex], debemos igualar los exponentes de las potencias de [tex]\( x \)[/tex]. Esto se debe a que para que dos términos sean semejantes, deben tener las mismas bases elevadas al mismo exponente.
Dado que:
[tex]\[
M = -25 a x^{a+2}
\][/tex]
y
[tex]\[
N = \sqrt{2} x^{3a-8}
\][/tex]
nos enfocamos en los exponentes de [tex]\( x \)[/tex]. Debemos igualar los exponentes [tex]\( a + 2 \)[/tex] y [tex]\( 3a - 8 \)[/tex]:
[tex]\[
a + 2 = 3a - 8
\][/tex]
Ahora resolveremos esta ecuación para [tex]\( a \)[/tex].
1. Restamos [tex]\( a \)[/tex] de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
a + 2 - a = 3a - 8 - a
\][/tex]
lo cual simplifica a:
[tex]\[
2 = 2a - 8
\][/tex]
2. A continuación, sumamos 8 a ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
2 + 8 = 2a - 8 + 8
\][/tex]
lo cual simplifica a:
[tex]\[
10 = 2a
\][/tex]
3. Finalmente, dividimos ambos lados de la ecuación entre 2:
[tex]\[
\frac{10}{2} = \frac{2a}{2}
\][/tex]
lo cual simplifica a:
[tex]\[
5 = a
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( a \)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{5}
\][/tex]
