Claro, vamos a resolver cada una de las partes aplicando propiedades de potenciación y radicación.
### Parte a
[tex]\[ (-3)^5 \cdot (-3) : (-3)^3 \][/tex]
Primero, aplicamos las propiedades de las potencias:
[tex]\[ (-3)^5 = -243 \][/tex]
[tex]\[ (-243) \cdot (-3) = 729 \][/tex]
[tex]\[ (-3)^3 = -27 \][/tex]
Ahora, resolvemos la división:
[tex]\[ \frac{729}{-27} = -27 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ (-3)^5 \cdot (-3) : (-3)^3 = -27 \][/tex]
### Parte b
[tex]\[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} \][/tex]
Usamos la propiedad que [tex]\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{6 \cdot 8} = \sqrt{48} \][/tex]
Luego:
[tex]\[ \sqrt{48} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} = 12 \][/tex]
### Parte c
[tex]\[ \sqrt{5^3 \cdot 5 \cdot 5^2} \][/tex]
Primero, sumamos los exponentes, ya que la base es la misma:
[tex]\[ 5^3 \cdot 5 = 5^{3+1} = 5^4 \][/tex]
[tex]\[ 5^4 \cdot 5^2 = 5^{4+2} = 5^6 \][/tex]
Luego, aplicamos la raíz cuadrada a [tex]\(5^6\)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt{5^6} = 5^{\frac{6}{2}} = 5^3 = 125 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \sqrt{5^3 \cdot 5 \cdot 5^2} = 125 \][/tex]
### Parte d
[tex]\[ \sqrt{\sqrt[3]{7^8 \cdot 7 \cdot 7^2 \cdot 7}} \][/tex]
Primero, sumamos los exponentes en la base común:
[tex]\[ 7^8 \cdot 7 = 7^{8+1} = 7^9 \][/tex]
[tex]\[ 7^9 \cdot 7^2 = 7^{9+2} = 7^{11} \][/tex]
[tex]\[ 7^{11} \cdot 7 = 7^{11+1} = 7^{12} \][/tex]
Ahora, aplicamos la raíz cúbica y luego la raíz cuadrada:
[tex]\[ \sqrt[3]{7^{12}} = 7^{\frac{12}{3}} = 7^4 \][/tex]
[tex]\[ \sqrt{7^4} = 7^{\frac{4}{2}} = 7^2 = 49 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \sqrt{\sqrt[3]{7^8 \cdot 7 \cdot 7^2 \cdot 7}} = 49 \][/tex]
### Parte e
[tex]\[ \left(5^2 \cdot 5\right)^4 : \left(5^5\right)^2 \][/tex]
Primero, simplificamos las potencias por partes:
[tex]\[ 5^2 \cdot 5 = 5^{2+1} = 5^3 \][/tex]
[tex]\[ \left(5^3\right)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12} \][/tex]
Para el denominador:
[tex]\[ \left(5^5\right)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10} \][/tex]
Ahora resolvemos la fracción con la propiedad de división de potencias de la misma base:
[tex]\[ \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^{12-10} = 5^2 = 25 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \left(5^2 \cdot 5\right)^4 : \left(5^5\right)^2 = 25 \][/tex]
### Resumen
[tex]\[ \text{a) } (-3)^5 \cdot (-3) : (-3)^3 = -27 \][/tex]
[tex]\[ \text{b) } \sqrt{6} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{3} = 12 \][/tex]
[tex]\[ \text{c) } \sqrt{5^3 \cdot 5 \cdot 5^2} = 125 \][/tex]
[tex]\[ \text{d) } \sqrt{\sqrt[3]{7^8 \cdot 7 \cdot 7^2 \cdot 7}} = 49 \][/tex]
[tex]\[ \text{e) } \left(5^2 \cdot 5\right)^4 : \left(5^5\right)^2 = 25 \][/tex]
