Para determinar los momentos de inercia [tex]\(I_x\)[/tex], [tex]\(I_y\)[/tex] y [tex]\(I_z\)[/tex] de una región en el primer octante delimitada por [tex]\(x=0\)[/tex], [tex]\(y=0\)[/tex], [tex]\(z=0\)[/tex] y el plano [tex]\(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\)[/tex] con densidad uniforme [tex]\(\rho\)[/tex], seguiremos estos pasos:
### 1. Definición de los momentos de inercia
Los momentos de inercia respecto a los ejes [tex]\(x\)[/tex], [tex]\(y\)[/tex] y [tex]\(z\)[/tex] se definen como:
[tex]\[ I_x = \int_V \rho (y^2 + z^2) \, dV \][/tex]
[tex]\[ I_y = \int_V \rho (x^2 + z^2) \, dV \][/tex]
[tex]\[ I_z = \int_V \rho (x^2 + y^2) \, dV \][/tex]
### 2. Conversión a coordenadas esféricas
Las coordenadas cartesianas [tex]\((x, y, z)\)[/tex] se pueden expresar en coordenadas esféricas [tex]\((r, \theta, \phi)\)[/tex] como:
[tex]\[ x = r \sin \theta \cos \phi \][/tex]
[tex]\[ y = r \sin \theta \sin \phi \][/tex]
[tex]\[ z = r \cos \theta \][/tex]
El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es:
[tex]\[ dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \][/tex]
### 3. Definición de la región
La región en el primer octante se describe en coordenadas esféricas por:
[tex]\[ 0 \leq r \leq R \][/tex]
[tex]\[ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \][/tex]
[tex]\[ 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \][/tex]
### 4. Expresión de los momentos de inercia en coordenadas esféricas
Los momentos de inercia en coordenadas esféricas se convierten en:
#### Momento de inercia [tex]\(I_x\)[/tex]
[tex]\[ I_x = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^R \rho \left( (r \sin \theta \sin \phi)^2 + (r \cos \theta)^2 \right) r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \][/tex]
#### Momento de inercia [tex]\(I_y\)[/tex]
[tex]\[ I_y = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^R \rho \left( (r \sin \theta \cos \phi)^2 + (r \cos \theta)^2 \right) r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \][/tex]
#### Momento de inercia [tex]\(I_z\)[/tex]
[tex]\[ I_z = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^R \rho \left( (r \sin \theta \cos \phi)^2 + (r \sin \theta \sin \phi)^2 \right) r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \][/tex]
### 5. Resolución de las integrales
Al resolver estas integrales, obtenemos los siguientes valores para los momentos de inercia:
[tex]\[ I_x = \frac{\pi R^5 \rho}{15} \][/tex]
[tex]\[ I_y = \frac{\pi R^5 \rho}{15} \][/tex]
[tex]\[ I_z = \frac{\pi R^5 \rho}{15} \][/tex]
### Respuesta final
Los momentos de inercia de la región son:
[tex]\[ I_x = \frac{\pi R^5 \rho}{15} \][/tex]
[tex]\[ I_y = \frac{\pi R^5 \rho}{15} \][/tex]
[tex]\[ I_z = \frac{\pi R^5 \rho}{15} \][/tex]
