Para resolver cuántos números hay en la progresión aritmética (P.A.) que comienza con 11, 6, 1, -4 y termina en -184, podemos seguir estos pasos:
1. Identificar los términos iniciales y la razón de la P.A.:
- Primer término (a₁) = 11
- Segundo término (a₂) = 6
- La diferencia común (d) se obtiene restando el primer término del segundo término:
[tex]\[
d = a₂ - a₁ = 6 - 11 = -5
\][/tex]
2. Establecer la fórmula del enésimo término en una P.A.:
La fórmula para el enésimo término (aₙ) de una progresión aritmética es:
[tex]\[
aₙ = a₁ + (n - 1) \cdot d
\][/tex]
Donde [tex]\( n \)[/tex] es el número de términos de la progresión.
3. Determinar el número de términos que resulten en el último término (-184):
Queremos encontrar [tex]\( n \)[/tex] tal que [tex]\( a_n = -184 \)[/tex]:
[tex]\[
-184 = 11 + (n - 1) \cdot (-5)
\][/tex]
4. Resolver para [tex]\( n \)[/tex]:
Restar 11 de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
-184 - 11 = (n - 1) \cdot (-5)
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
-195 = (n - 1) \cdot (-5)
\][/tex]
Ahora dividimos ambos lados por la diferencia común (-5):
[tex]\[
\frac{-195}{-5} = n - 1
\][/tex]
[tex]\[
39 = n - 1
\][/tex]
Finalmente, sumamos 1 a ambos lados para encontrar [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[
n = 39 + 1
\][/tex]
[tex]\[
n = 40
\][/tex]
Por lo tanto, hay 40 números en la progresión aritmética que comienza con 11, 6, 1, -4 y termina en -184.
