Para resolver el sistema de ecuaciones lineales:
[tex]\[
\begin{cases}
2x + y = \frac{5}{4} \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\][/tex]
sigamos los siguientes pasos:
1. Escribir las ecuaciones:
[tex]\[
\begin{aligned}
2x + y &= \frac{5}{4} \quad \text{(Ecuación 1)} \\
x + 2y &= 1 \quad \text{(Ecuación 2)}
\end{aligned}
\][/tex]
2. Despejar una variable en una de las ecuaciones. Vamos a despejar [tex]\( y \)[/tex] en términos de [tex]\( x \)[/tex] usando la Ecuación 2:
[tex]\[
x + 2y = 1 \implies 2y = 1 - x \implies y = \frac{1 - x}{2}
\][/tex]
3. Sustituir la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la otra ecuación. Sustituimos [tex]\( y = \frac{1 - x}{2} \)[/tex] en la Ecuación 1:
[tex]\[
2x + \left(\frac{1 - x}{2}\right) = \frac{5}{4}
\][/tex]
4. Despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2x + \frac{1 - x}{2} = \frac{5}{4}
\][/tex]
Multiplicamos todo por 2 para deshacernos del denominador:
[tex]\[
4x + (1 - x) = \frac{5}{2}
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
4x + 1 - x = \frac{5}{2}
\][/tex]
[tex]\[
3x + 1 = \frac{5}{2}
\][/tex]
Restamos 1 de ambos lados:
[tex]\[
3x = \frac{5}{2} - 1 \implies 3x = \frac{5}{2} - \frac{2}{2} \implies 3x = \frac{3}{2}
\][/tex]
Dividimos ambos lados entre 3:
[tex]\[
x = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{2}
\][/tex]
5. Encontrar el valor de [tex]\( y \)[/tex] usando la Ecuación 2 o la expresión obtenida en el paso 2:
[tex]\[
y = \frac{1 - x}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}
\][/tex]
Así, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
\left( x, y \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right)
\][/tex]
