Para resolver el sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución, sigamos los siguientes pasos:
Dado el sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{cases}
2x + y = \frac{9}{4} \\
x + 2y = 1
\end{cases}
\][/tex]
1. Despejamos [tex]\( y \)[/tex] en términos de [tex]\( x \)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[
2x + y = \frac{9}{4}
\][/tex]
Restamos [tex]\( 2x \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
y = \frac{9}{4} - 2x
\][/tex]
2. Sustituimos la expresión obtenida para [tex]\( y \)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[
x + 2\left(\frac{9}{4} - 2x\right) = 1
\][/tex]
Distribuimos el [tex]\( 2 \)[/tex] en el paréntesis:
[tex]\[
x + \frac{18}{4} - 4x = 1
\][/tex]
Simplificamos el término fraccionario:
[tex]\[
x + \frac{9}{2} - 4x = 1
\][/tex]
Combinamos términos semejantes:
[tex]\[
-3x + \frac{9}{2} = 1
\][/tex]
3. Resolvemos para [tex]\( x \)[/tex]:
Restamos [tex]\(\frac{9}{2}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
-3x = 1 - \frac{9}{2}
\][/tex]
Simplificamos el lado derecho:
[tex]\[
-3x = 1 - 4.5
\][/tex]
[tex]\[
-3x = -3.5
\][/tex]
Dividimos ambos lados por [tex]\(-3\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{7}{6}
\][/tex]
4. Sustituimos [tex]\( x = \frac{7}{6} \)[/tex] de nuevo en la expresión para [tex]\( y \)[/tex] obtenida en el paso 1:
[tex]\[
y = \frac{9}{4} - 2 \left(\frac{7}{6}\right)
\][/tex]
Simplificamos el segundo término:
[tex]\[
y = \frac{9}{4} - \frac{14}{6}
\][/tex]
Encontramos un denominador común para las fracciones:
[tex]\[
y = \frac{27}{12} - \frac{28}{12}
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
y = -\frac{1}{12}
\][/tex]
5. Conclusión:
La solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
\left( \frac{7}{6}, -\frac{1}{12} \right)
\][/tex]
En forma decimal, esto corresponde aproximadamente a:
[tex]\[
(1.1667, -0.0833)
\][/tex]
Esta es la solución del sistema, donde ambos valores resuelven las ecuaciones originales.
