Answer :
Claro, vamos a resolver cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales y verificar las soluciones de acuerdo con los métodos de sustitución y eliminación gaussiana.
### a) Sistema de ecuaciones lineales diagonal
[tex]\[ \begin{cases} 2x = 11 \\ -3y = 0 \\ 5z = -5 \\ \end{cases} \][/tex]
Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos resolver cada una de las ecuaciones individualmente:
1. Para [tex]\(2x = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{11}{2} = 5.5 \][/tex]
2. Para [tex]\(-3y = 0\)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{0}{-3} = 0 \][/tex]
3. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]
Entonces, las soluciones del sistema diagonal son:
[tex]\[ (x, y, z) = (5.5, 0, -1) \][/tex]
### b) Sistema de ecuaciones lineales triangular superior
[tex]\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 11 \\ -y - 2z = 0 \\ 5z = -5 \\ \end{cases} \][/tex]
Para resolver este sistema, empezamos desde la última ecuación y trabajamos hacia la primera:
1. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(z = -1\)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\(-y - 2z = 0\)[/tex]:
[tex]\[ -y - 2(-1) = 0 \Rightarrow -y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(y = 2\)[/tex] y [tex]\(z = -1\)[/tex] en la primera ecuación [tex]\(x + 2y + 3z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x + 2(2) + 3(-1) = 11 \Rightarrow x + 4 - 3 = 11 \Rightarrow x + 1 = 11 \Rightarrow x = 10 \][/tex]
Entonces, las soluciones del sistema triangular superior son:
[tex]\[ (x, y, z) = (10, 2, -1) \][/tex]
### c) Sistema de ecuaciones lineales triangular inferior
[tex]\[ \begin{cases} 2x = 4 \\ 3x + 4y = 18 \\ -3x + 4y + z = 11 \\ \end{cases} \][/tex]
Para resolver este sistema, empezamos desde la primera ecuación y trabajamos hacia la última:
1. Para [tex]\(2x = 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{4}{2} = 2 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\(3x + 4y = 18\)[/tex]:
[tex]\[ 3(2) + 4y = 18 \Rightarrow 6 + 4y = 18 \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex] en la tercera ecuación [tex]\(-3x + 4y + z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ -3(2) + 4(3) + z = 11 \Rightarrow -6 + 12 + z = 11 \Rightarrow 6 + z = 11 \Rightarrow z = 5 \][/tex]
Entonces, las soluciones del sistema triangular inferior son:
[tex]\[ (x, y, z) = (2, 3, 5) \][/tex]
Con esto, hemos resuelto y verificado las soluciones para cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales propuestos.
### a) Sistema de ecuaciones lineales diagonal
[tex]\[ \begin{cases} 2x = 11 \\ -3y = 0 \\ 5z = -5 \\ \end{cases} \][/tex]
Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos resolver cada una de las ecuaciones individualmente:
1. Para [tex]\(2x = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{11}{2} = 5.5 \][/tex]
2. Para [tex]\(-3y = 0\)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{0}{-3} = 0 \][/tex]
3. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]
Entonces, las soluciones del sistema diagonal son:
[tex]\[ (x, y, z) = (5.5, 0, -1) \][/tex]
### b) Sistema de ecuaciones lineales triangular superior
[tex]\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 11 \\ -y - 2z = 0 \\ 5z = -5 \\ \end{cases} \][/tex]
Para resolver este sistema, empezamos desde la última ecuación y trabajamos hacia la primera:
1. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(z = -1\)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\(-y - 2z = 0\)[/tex]:
[tex]\[ -y - 2(-1) = 0 \Rightarrow -y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(y = 2\)[/tex] y [tex]\(z = -1\)[/tex] en la primera ecuación [tex]\(x + 2y + 3z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x + 2(2) + 3(-1) = 11 \Rightarrow x + 4 - 3 = 11 \Rightarrow x + 1 = 11 \Rightarrow x = 10 \][/tex]
Entonces, las soluciones del sistema triangular superior son:
[tex]\[ (x, y, z) = (10, 2, -1) \][/tex]
### c) Sistema de ecuaciones lineales triangular inferior
[tex]\[ \begin{cases} 2x = 4 \\ 3x + 4y = 18 \\ -3x + 4y + z = 11 \\ \end{cases} \][/tex]
Para resolver este sistema, empezamos desde la primera ecuación y trabajamos hacia la última:
1. Para [tex]\(2x = 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{4}{2} = 2 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\(3x + 4y = 18\)[/tex]:
[tex]\[ 3(2) + 4y = 18 \Rightarrow 6 + 4y = 18 \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex] en la tercera ecuación [tex]\(-3x + 4y + z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ -3(2) + 4(3) + z = 11 \Rightarrow -6 + 12 + z = 11 \Rightarrow 6 + z = 11 \Rightarrow z = 5 \][/tex]
Entonces, las soluciones del sistema triangular inferior son:
[tex]\[ (x, y, z) = (2, 3, 5) \][/tex]
Con esto, hemos resuelto y verificado las soluciones para cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales propuestos.