Para resolver el sistema de ecuaciones dado:
[tex]\[
\begin{cases}
5x + 6y = 11 \\
7x - 4y = 3
\end{cases}
\][/tex]
1. Resolución del sistema de ecuaciones:
Primero, resolvamos este sistema de ecuaciones lineales. Para hacerlo, podemos usar un método como sustitución, eliminación, o matrices. Vamos a usar el método de eliminación en este caso.
2. Multiplicación de ecuaciones para igualar coeficientes:
Multiplicamos las ecuaciones por los factores necesarios para eliminar una de las variables. Multipliquemos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 6 para eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
\begin{cases}
4(5x + 6y) = 4(11) \\
6(7x - 4y) = 6(3)
\end{cases}
\][/tex]
Resultando en:
[tex]\[
\begin{cases}
20x + 24y = 44 \\
42x - 24y = 18
\end{cases}
\][/tex]
3. Suma de las ecuaciones:
Ahora sumamos ambas ecuaciones:
[tex]\[
(20x + 24y) + (42x - 24y) = 44 + 18
\][/tex]
Esto nos da una ecuación con una sola variable:
[tex]\[
62x = 62
\][/tex]
4. Solución para [tex]\( x \)[/tex]:
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = 1
\][/tex]
5. Sustitución de [tex]\( x \)[/tex] para encontrar [tex]\( y \)[/tex]:
Sustituimos [tex]\( x = 1 \)[/tex] en una de las ecuaciones originales. Usamos la primera ecuación:
[tex]\[
5(1) + 6y = 11
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
5 + 6y = 11 \\
6y = 6 \\
y = 1
\][/tex]
6. Producto [tex]\( x \cdot y \)[/tex]:
Con los valores obtenidos, calculamos el producto:
[tex]\[
x \cdot y = 1 \cdot 1 = 1
\][/tex]
Entonces, el producto de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( \boxed{1} \)[/tex].
